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Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4

Posté par
mendra 24-08-11 à 12:09

Bonjour,

Je dois linéariser sin5x cos4x

Je n'arrête pas de faire des erreurs!

Auriez-vous une méthode limitant le risque de se tromper?
Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 24-08-11 à 12:13

Bonjour,

Avec les exponentielles complexes et les formules d' Euler, peut-être ?

Posté par
Manu04re : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 24-08-11 à 12:19

Bonjour,

Et bien si tu n'es pas très à l'aise dans ce genre de calcul, vas-y très doucement en décomposant chaque étape du développement à un niveau où tu es sûre de ne pas faire d'erreurs.

A part cela, c'est une question d'entrainement et d'habitudes de calculs, tu feras moins d'erreurs avec le temps. Petit à petit tu pourras aller plus vite.

Pour le début :

\sin^5 x\cos^4 x=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^5\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^4
                       =\frac{1}{(2i)^5}\times\frac{1}{2^4}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^5\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4
                       =\frac{1}{512i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^5\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4

Développe ensuite séparément, au brouillon \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^5 et \left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4 en utilisant les coefficients binomiaux du triangle de Pascal.

Posté par
cailloux Correcteurre : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 24-08-11 à 12:40

Avec cette expression:

\large \sin^5x\,\cos^4x=\frac{1}{2^9i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^5\,\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4

tu vas avoir à développer le produit de 2 facteurs contenant chacun 6 et 5 termes soit 30 termes à réduire après développement.

Il est plus pratique d' écrire:

\large \sin^5x\,\cos^4x=\frac{1}{2^9i}\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)^4\,\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)

Il n' y aura plus que 10 termes après développement.

Au final, tu dois avoir:

\large \sin^5x\,\cos^4x=\frac{1}{256}\left(\sin\,9x-\sin\,7x-4\,\sin\,5x+4\,\sin\,3x+6\,\sin\,x\right)





Posté par
mendrare : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 24-08-11 à 14:06

Merci Cailloux et manu04,

J'apprécie tout spécialement ton "astuce" cailloux!

Je ne connaissais pas les coefficients binomiaux du triangle de Pascal Manu04; mais effectivement, si j'appliquais cette formule, il me semble évident que cela me simplifierait la tâche!

Posté par
antoine1003re : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 20-09-12 à 22:44

Salut,
Désolé de déterrer ce sujet mais j'aimerais bien savoir cailloux comment tu passe de :
\large \sin^5x\,\cos^4x=\frac{1}{2^9i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^5\,\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4    à     \large \sin^5x\,\cos^4x=\frac{1}{2^9i}\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)^4\,\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)

Merci a+

Posté par
cailloux Correcteurre : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 20-09-12 à 23:45

Bonsoir,

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Si bien que:

e^{2ix}-e^{-2ix}=(e^{ix}-e^{-ix})(e^{ix}+e^{-ix})

Et donc que:

(e^{2ix}-e^{-2ix})^4=(e^{ix}-e^{-ix})^4(e^{ix}+e^{-ix})^4

Du coup:

(e^{2ix}-e^{-2ix})^4(e^{ix}-e^{-ix})=(e^{ix}-e^{-ix})^5(e^{ix}+e^{-ix})^4

Posté par
antoine1003re : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 21-09-12 à 07:39

D'accord !
Merci beaucoup
Bonne fin de semaine

Posté par
alainpaulre : Linéarisation (sin(x))^5.(cos(x))^4 21-09-12 à 13:03

Bonjour,

juste une remarque:
la linéarisation est le plus souvent utilisée
pour le calcul de primitives.

Les formes cos^{2p+1}(x)*sin^{2n}(x)   et
cos^{2p}(x)*sin^{2n+1}(x)   p et n entier
le changement de variable convient,



Alain


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