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Linéarité d’une application

Posté par
Atepadene
05-05-24 à 14:03

Bonjour,  
Soit E,F,G des \mathbb(K) espaces vectoriels de dimensions finies et f \in L(E,G), g \in L(F,G)
Je veux montrer l'équivalence suivante :
Im(f) \subset Im(g) \Leftrightarrow \exists h \in L(E,F), f=g \circ h
J'ai fait le sens simple et pour le sens direct j'ai réussi à montrer l'existence d'une application h de E vers F qui vérifie :
\forall (x,x') \in E^2, \alpha \in \mathbb(K), h(x+\alpha x') - h(x) -\alpha h(x') \in Ker(g)
Maintenant le cas où le noyau de g n'est ni le singleton 0 ni F tout entier me pose problème, je ne sais pas comment montrer que h est nécessairement linéaire.
Si vous avez des pistes…
Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 14:50

salut

la question n'est pas tant que h soit linéaire mais son existence ...

je t'invite à écrire E = \ker f \oplus B $ et $ F = \ker g \oplus D

avec A = Ker f et B un supplémentaire de A
et C = ker g et D un supplémentaire de C

soit alors x un élément de E donc x = a + b avec a dans ker f et b dans B

que doit valoir h(x) ? que faut-il choisir ?

Posté par
Atepadene
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 15:19

Je ne vois pas en quoi l'existence de h pose problème, en effet en supposant Im(f) \subset Im(g) , je peux écrire :
\forall x \in E \exists y_x \in F, f(x)=g(y_x).
Je prend alors h : x \longmapsto y_x, peut être que je me trompe en écrivant cela à la place de  \forall i \in Im(f), \exists x \in E, \exists y_x \in F, i=f(x)=g(y_x)

Pour la manière que vous proposez, je ne vois pas trop quoi faire, h(x) doit être l'antécédent de f(b) par g, je ne saurais pas developper.

Posté par
carpediem
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 16:59

ce que tu écris est correct

alors il est aisé de montrer que h(ax + by) = ah(x) +bh(y)
mais il te faudra bien considérer à un moment les noyaux de f et de g

voir ensuite :
et

qui donne un peu des idées générales

Posté par
Atepadene
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 17:44

carpediem @ 05-05-2024 à 16:59


alors il est aisé de montrer que h(ax + by) = ah(x) +bh(y)

Malheureusement non pas pour moi puisque c'est le sujet de ce topic.

Je bloque au moment où je dois montrer que ce h que j'ai explicité plus haut est linéaire, voici ce que j'ai fait :
J'ai donc établi l'existence de ce h telle que f=goh. Je peux alors écrire f(x+by)=g(h(x+by)) ainsi que f(x)+bf(y)=g(h(x))+bg(h(y)).
Par linéarité de f et g on a donc que g(h(x+by)-h(x)-bh(y))=0
Et donc on revient au résultat que j'ai écrit dans mon message initial.
Je ne développe pas les deux cas simple ou Ker(g) est {0} ou F mais le cas ou Ker(g) n'est ni l'un ni l'autre m'embête, j'ai bien essayé d'écrire E et F comme vous me l'avez proposé mais je ne vois pas où ça doit me mener.
Je ne veux pas que vous me donniez la réponse mais une idée un peu plus clair que l'écriture de E et F comme somme directe m'aiderait bien

Posté par
GBZM
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 18:24

Bonjour,
Si tu prends pour \Large h(x) n'importe que \Large y tel que \Large f(x)=g(y), tu ne pourras pas montrer que \Large h est linéaire, parce qu'il n'y a aucune raison pour que ce soit vrai.
Tu sais sans doute qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base. Tu peux partir d'une base  de \Large E, au lieu de partir de tous les éléments de \Large E.

Posté par
Atepadene
re : Linéarité d’une application 05-05-24 à 18:44

Merci pour votre aide à tous deux, j'ai pu résoudre mon problème.
Bonne soirée



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