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Linéarité d'une application
une application est linéaire si elle " respecte " les deux lois d'un espace vectoriel.
une application linéaire est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire
Pour moi les deux lois d'un espace vectorielle E sur K sont:
-D'une part la loi de composition "+" est interne, associative, commutative et unifère. Et tout élément de E a un symétrique par rapport à "+"
-D'autre part la loi " ." qui est une loi de composition externe de (K,E) dans E, est associative, unifère, commutative et distributive sur +.
En quoi une application avec les propriétés suivantes "respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire" ?
propriétés:
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(ax)=af(x)
Je ne comprend pas trop ce que signifie le fait que l'application linéaire respecte les lois de l'espace vectorielle, ou respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire.
Je comprend bien que si on a une application de E dans W qui respecte ces conditions, ou E est un espace vectorielle, alors nécessairement W est un espace vectoriel.
En effet si f(x)+f(y)=f(x+y) cela signifie que toute somme d'élément de W est aussi dans W (f(x), f(y) et f(x+y) sont tous dans W).
Si on a f(x)+f(y)=f(x+y) alors nécessairement f(0) et 0 donc W a un elt neutre,...
Donc oui si l'application respecte les propriétés énoncées alors si on a un vectorielle au départ, l'image de cette ev par f sera aussi un espace vectorielle. Est ceci que veut dire l'application " respecte les deux lois d'un espace vectoriel."?
Et dans ce cas, pour que l'image d'un ev par une application soit aussi un ev, faut-il nécessairement que l'application respecte les propriétés de l'application linéaire énoncé ? Si oui je veux bien une démonstration...
Voila voila ma question, cela me permettra de m'éclairer sur ce qu'est une application linéaire et comprendre plus en profondeur ce qu'elle représente, mise à part une application qui respecte deux propriétés.
Bonsoir,
je crois que les citations que tu donnes sont là pour donner une idée de ce qu'est une application linéaire.
La définition est plutôt
avec les quantificateurs universels que tu peut imaginer.
J'ai sûrement fait beaucoup plus de fautes que vous donc pas de soucis 
Mais pourtant mes "citations" je les trouve dans des cours d'algèbre linéaires, sur Wikipédia, sur des vidéos, tous le temps.
Oui ma définition n'était pas très rigoureuse...
Mais du coup les applications linéaires ont quand même un sens derrière ces propriétés ? Pouvez vous m'éclairer sur ce sujet? Je ne vais pas refaire tous le message, toutes mes questions, et ce que je ne comprends pas, est dans le premier message.
salut
Et dans ce cas, pour que l'image d'un ev par une application soit aussi un ev, faut-il nécessairement que l'application respecte les propriétés de l'application linéaire énoncé ? Si oui je veux bien une démonstration...
ceci ne veut rien dire !!
soient E et F deux ensembles et f une fonction/application de E dans F
1/ les ensembles E et F sont munis de structures (ou non) qui en font des espaces vectoriels, des corps, des anneaux, des algèbres ...
2/ dans le cas ù E et F ont une certaine structure (disons la même pour simplifier dans un premier temps) alors :
on dit que f est un morphisme (de cette structure) si elle respecte certaines règles en adéquation avec cette structure
EX : E et F sont des espaces vectoriels (modules) sur un même corps (anneau) K
alors f est un morphisme d'espaces vectoriels (d'anneaux) si et seulement si :
a/ f(x + y) = f(x) + f(y) (car un (sous-)espace vectoriel est stable par addition )
b/ f(ax) = af(x) (car un (sous-)espace vectoriel est stable par homogénéité :
et toute application de E dans F qui ne respecte pas ces deux points n'est pas un morphisme de E dans F
voir
PS : et dans le cas des espaces vectoriels la fonction f qui vérifie les points a/ et b/ est appelée application linéaire ... par analogie avec les fonctions linéaires dans R
pour que l'image d'un ev par une application soit aussi un ev, faut-il nécessairement que l'application respecte les propriétés de l'application linéaire énoncé ?
La fonction f
Quand on te parle de morphisme (ou homomorphisme) il est sous-entendu que tu es en train de travailler dans une certaine catégorie (groupes, anneaux, R-ev, modules, ensembles, espaces topologiques, etc) et que tu n'en sors pas.
Un morphisme (ou flèche) pour la catégorie des espaces vectoriels, c'est juste une terminologie différente pour parler d'une application linéaire, c'est à dire une application entre deux objets de la catégorie des R-espaces vectoriels (des R-ev, donc) qui envoie le neutre du premier sur le celui du second et qui respecte les deux autres lois que verdurin t'a explicitées.
Un morphisme pour la catégorie des ensembles, ce n'est rien d'autre qu'une fonction entre ensembles.
Un morphisme pour la catégorie des espaces topologiques, c'est une fonction continue entre deux espaces munis de leurs topologies.
Et ensuite, il y a une autre subtilité qui est la différence entre une application et une fonction. C'est un peu une facétie bourbakiste, mais en gros, une application, c'est une fonction avec un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée comme tu as l'habitude d'en manipuler. Mais application est un concept un poil plus général qui inclut aussi certains objets (relations) multivalués (du genre, fonction pouvant donner plusieurs images à un seul élément).
Dans ton exemple, ton application entre E et W peut être corestreinte (on restreint l'image) à l'image de f, c'est à dire en une application entre E et f(E). C'est f(E) qui est alors muni d'une structure d'espace vectoriel.
Par exemple, l'inclusion
Bonsoir Ulmiere.
Ton post me semble assez incompréhensible.
C'est quoi et
?
Ensuite je n'ai plus lu Bourbaki depuis très longtemps, mais dans mon souvenir une application de E dans F est une partie A de E
F vérifiant :
Plus sérieusement je n'ai pas l'impression que tu cherches à aiderAstreB612.
Du coup dire qu'une application "respecte l'addition des vecteurs" ça veut dire que f(x + y) = f(x) + f(y) ?
Et dire que l'application respecte la multiplication par scalaire ça veut dire que f(ax) = af(x) ?
On dit que f est un morphisme (de cette structure) si elle respecte certaines règles en adéquation avec cette structure
EX : E et F sont des espaces vectoriels (modules) sur un même corps (anneau) K
alors f est un morphisme d'espaces vectoriels (d'anneaux) si et seulement si :
a/ f(x + y) = f(x) + f(y) (car un (sous-)espace vectoriel est stable par addition )
b/ f(ax) = af(x) (car un (sous-)espace vectoriel est stable par homogénéité :
Si je comprends bien, il faut que le morphisme respecte les mêmes règles de sa structure.
Les espaces vectoriels sont stables par addition, donc la somme de deux vecteurs d'un ev doit aussi appartenir à ce même ev.
Un morphisme d'espace vectoriel doit donc aussi être stable par addition. ( Vous dite f(x + y) = f(x) + f(y) car un (sous-)espace vectoriel est stable par addition )
Mais dire qu'un morphisme est "stable" par addition n'a pas de sens non?
Je ne comprends pas pourquoi le morphisme devrait donc respecter ces propriétés...
parce que c'est la définition : une application/fonction (je mets les deux même si on les confond "par manque de rigueur") est un morphisme de catégorie (espace vectoriel, anneau, corps, espace topologique, ...) est un morphisme pour cette structure quand il respecte certaines propriétés données dans la définition
Bonjour
Je reprends le premier message :
-D'autre part la loi " ." qui est une loi de composition externe de (K,E) dans E, est associative, unifère, commutative et distributive sur +.
Tu utilises des adjectifs qui ne s'appliquent pas à une loi externe.
D'accord j'ai fait beaucoup d'erreur et merci de me les avoir pointées.
Mais au final vous n'avez pas répondu à ma question.
C'est quoi une application linéaire si ce n'est qu'une application qui réponde à deux propriétés.
Quel est le sens de ces applications, à quoi servent elles, c'est quoi leur buts. On a pas inventé ces propriétés au hasard, c'est donc qu'elles répondent à certains besoins : mais lesquels ?
L'intérêt, c'est qu'on peut considérer par exemple les polynômes comme des vecteurs :
On sait les ajouter et les multiplier par un réel.
Soit E l'ensemble des polynômes de degré 2024 et F l'ensemble des polynômes de degré 2023.
La dérivation permet de définir une application linéaire de E vers F.
L'intérêt, c'est qu'on peut considérer par exemple les polynômes comme des vecteurs
Mais on a pas besoin d'application linéaire pour considérer un polynôme comme un vecteur...
Un polynôme peut être considérer comme un vecteur point. Pas besoin de faire intervenir les applications linéaire la dedans.
mais une application linéaire) n'est simplement qu'une application qui n'apparait que quand elle apparait !! epictou !!
dans le plan (vectoriel) une rotation, une réflexion, une transvection sont des applications linéaires parce que si on compare :
f(u + v) et f(u) + f(v)
f(au) et af(u)
ben on trouve la même chose et c'est ce qui justifie que ces applications sont dites linéaires !!!
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