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Lipchitz et point fixe
Bonjour,
révisions oblige je bloque encore sur un exo.
Enoncé :
Soit f : R -> R df par f(x) = 1/(x²+1)
1)Mq f est une contraction dont on déterminera la meilleure constant de Lipchitz
2)Déduire de 1) que l'équation x4+x-1=0 n'a qu'une solution réelle
Moi :
1) Ca marche je trouve que la constance de Lipchitz est 1/2 grace au TAF
2) Là je bloque.
Pistes :
Je pose g(x) = 1-x4 et je cherche à utiliser le théorème du point fixe.
Je peut faire apparaître f dans g :
g = (1-x²)/f
Ici j'essai d'utiliser le thm du point fixe sur f mais ça ne me donne rien.
Pour l'utiliser sur g il faudrait que je montre qu'elle est Lipschitzienne et je n'y arrive pas.
Merci d'avance pour l'aide 
Salut !
c'est pas x^4+x-1, mais x^3+x-1 je pense...
parceque :
1) les points fixes de f sont les point telle que x^3+x-1=0
2) x^4+x-1 a au moins deux racines réelle : sa tend vers +l'infinit en +l'infinit et - l'infinit et c'est négatif en 0...
A oui effectivement ça marche mieu avec x^3.
J'ai une vieille photocopie de sujet et j'avais l'impression qu'un 4 avait était mit sur le 3 mais c'est le contraire ^^.
Merci bien.
A par contre pour utiliser le théorème du point fixe je doit montrer que la somme des rapports de Lipschitz ne tend pas vers l'infini.
Je ne vois pas trop comment on peut le montrer
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