Exo classique :

Tu supposes par exemple que g(x) > 0 partout, contradiction en 1.
Donc il existe au moins un x0 tel que g(x0) <= 0. Si g(x0) = 0, c'est gagné. Sinon, tu as au moins trouvé un x0 tel que g(x0) < 0.

Tu continues en supposant g(x) < 0 partout, contradiction en 0, etc, et dans le pire des cas tu as un x1 tel que g(x1) > 0.

Après ça, puisque tu as la continuité, un petit coup de théorème de la valeur intermédiaire entre x0 et x1 doit te permettre de conclure.

Il me semble que ton raisonnement ne tient pas la route LeHibou.

  jonathan_normand, dans le 2), f est supposée lipschitzienne ?

Si on n'impose rien à f, le résultat demandé n'est évidemment plus valable, donc j'ai effectivement fait cette supposition compte tenu de la première question. A part ça, j'ai pu me planter, ça m'arrive régulièrement mais même en me relisant je ne vois pas où ?

Je ne sais pas....

Mais en fait ne suffit-il pas de remarquer (comme tu l'as fait) que g(0)>=0 et que g(1)<=0 et d'appliquer le thm des valeurs intermédiaires ?

Ce qui m'étonne, c'est que je pensais que la condition de Lipschitz sur f est nécessaire pour qu'elle admette un point fixe...

Tu ne peux appliquer le th des valeurs intermédiaires que s'il y a continuité.
Or sauf erreur de ma part (et encore une fois ça m'arrive régulièrement) Lipschitz => continuité mais pas le contraire. Donc Lipschitz est suffisante pour le point fixe mais pas nécessaire.

c pas spécifié mais je pense ke c nécessaire de suposer k lipchitzienne, de plus les questions n'auraient aucun liens

LeHbibou:
Tu peux utiliser le théorème des valeurs intérmédiaires, sous d'autres hypothèses plus faibles que la continuité. (cf le théorème de Darboux)

jonathan_normand:
Merci d'écrire en français.

Ici il faut une condition supplémentaire sur f, surjectivité, continuité etc

Exact, merci pour ce rappel du très foli théorème de Darboux que j'avais un peu oublié...