Bonjour,

je travaille sur les équivalences de métriques et il y a un contre exemple que je ne saisis pas.

Voyez ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalence_des_distances

Il est mentionné que :  "d3 et d4 sont bornologiquement équivalentes mais ne sont pas Lipschitz-équivalentes"

Deux questions :

comment vérifier l"équivalence bornologique ? Je prends un segment de mon intervalle ( [a,b] ) et je vérifie que l'identité l'envoie sur un segment ? Autrement dit, pour tout A, il existe B,  d(x,y) < A \implies d'(x,y) < B et réciproquement pour deux autres constantes?

Moi il me semble que d3 et d4 sont lipschitz équivalent. En faisant des calculs, j'arrive à prouver que en choisissant c= 1/2 et C = 1, on a c * d3 \leq d4 \leq C * d3.  Peut être je me trompe ? qu'en pensez vous ?
Auriez vous peut être un autre exemple ou on a bornologiquement équivalent mais pas lipschitz équivalent ?


merci, bonne journée à vous