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ln(ab)= ln(a)+ln(b) avec des intégrales

Posté par
disz 05-08-21 à 11:50

Bonjour voici l'énoncé :

On fait semblant dans cet exercices de ne  pas connaitre le logarithme , et on pose pour tout x positif
L(x)=\int_{1}^{x}{\frac{dt}{t}}
montrer que pour tout x et y positif non nul
L(xy)=L(x)+L(y)

Voila ce que je fais
L(x)+L(y)=\int_{1}^{x}{\frac{dt}{t}}+\int_{1}^{y}{\frac{dt}{t}}=\int_{1}^{x}{\frac{dt}{t}}+\int_{x}^{xy}{\frac{du}{u}}

Ici je pose  u =xt  la fonction  qui a t associe  xt est  C1
Ensuite  étant donné que les variable sot muette ( c'est la que j'ai un doute)
J'utilise la relation de chasle  et j'ai gagné
Est ce correct

Posté par
carpediemre : ln(ab)= ln(a)+ln(b) avec des intégrales 05-08-21 à 12:26

salut

oui tu peux remplacer u par t ...

Posté par
luzakre : ln(ab)= ln(a)+ln(b) avec des intégrales 06-08-21 à 08:30

Tu peux aussi dériver x\mapsto\ln(xy) et trouver la constante différence en faisant x=1

Posté par
Ulmierere : ln(ab)= ln(a)+ln(b) avec des intégrales 06-08-21 à 14:44

Je précise ce que veut dire luzak

La fonction inverse est continue sur ]0,1] donc L est une fonction C1 (en fait elle est même C-infini puisque la fonction inverse aussi, mais on n'en a pas besoin ici).

On fixe y et on dérive en x : pour tout x,
\dfrac{d}{dx}(L(xy)) = yL'(xy) = y\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{x} = L'(x)

Le théorème fondamental de l'analyse nous apprend (même dérivée) que L(xy) = L(x) + C^{te} pour tout x, la constante dépendant uniquement de y


Ceci est vrai pour tout y donc on peut écrire que f(y) := L(xy)-L(x) est une fonction bien définie peu importe la valeur de x. En particulier quand x = 1, on trouve que f(y)=L(y) pour tout y.

Posté par
Ulmierere : ln(ab)= ln(a)+ln(b) avec des intégrales 06-08-21 à 15:00

Si tu veux procéder par changement de variable u = yt, du = ydt à y fixé, tu diras que f : t\mapsto yt est un C1-difféomorphisme entre ]]1,x[[ et ]]y,xy[[ et

L(xy) = \int_1^{xy}\dfrac{dt}{t} = \int_1^y \dfrac{dt}{t} + \int_y^{xy} \dfrac{dt}{t} = L(y) + \int_y^{xy} \dfrac{d(yt)}{yt} = L(y) + \int_1^{x} \dfrac{dt}{t} = L(y)+L(x)


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