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ln(n!)

Posté par
Artemisfly 24-10-18 à 11:44

Bonjour bonjour,
je dois "tout simplement" trouver un équivalent simple à ln(n!).
J'ai assez facilement trouvé que cela valait \sum_{2}^{\propto }{ln(n)}, mais après je bloque.
J'ai trouvé que cette question avait déjà été posée sur le forum mais cette personne avait une indication que je n'ai malheureusement pas...
Est-ce que vous pourriez m'orienter sur la voie à utiliser pour encadrer cette série et trouver un équivalent?
Merci d'avance,
Artemisfly

Posté par
matheuxmatoure : ln(n!) 24-10-18 à 11:53

bonjour

\sum_{2}^{\infty }{ln(n)} = ln(n) \times \sum_{2}^{\infty }{1}

bizarre comme équivalent !

Posté par
matheuxmatoure : ln(n!) 24-10-18 à 12:02

formule illisible sans précision sur la variable de sommation !

à moins que ce soit

\sum_{n=2}^{\infty }{ln(n)}

bizarre comme équivalent de ln(n!) ...

Posté par
larrechre : ln(n!) 24-10-18 à 12:16

Bonjour,

Je crois qu'il veut simplement dire que

ln(n!)=ln(2)+ln(3)+...+ln(n) ce qui n'est pas vraiment un scoop

Posté par
lionel52re : ln(n!) 24-10-18 à 14:13

Hello !
C'est pas une mauvaise idée de passer à la somme

Déjà
\sum_i ln(i) \leq nln(n)

Puis par comparaison intégrale, aux erreurs d'indice près...
\sum_i ln(i) \geq  \sum_i \int_{i}^{i+1} ln(x)dx = nln(n) - n

T'as un truc du style (toujours aux erreurs d'indice près)

nln(n) - n \leq ln(n!) \leq nln(n) puis en divisant par nln(n) tu as le résultat

Posté par
Artemisflyre : ln(n!) 24-10-18 à 14:45

Merci à tous pour vos réponses.
Effectivement j'ai oublié de mettre n dans l'indice de sommation, j'en suis désolée...
lionel52 je suis passée à la somme étant donnée que nous travaillons sur les séries. Par contre, je ne comprends pas comment vous avez obtenu les inégalités que vous donnez...

Posté par
lionel52re : ln(n!) 24-10-18 à 14:53

Technique classique et à retenir de comparaison!

La fonction ln est croissante donc ln(n) \geq ln(x) pour x \in [n-1,n] puis tu integres la relation entre n-1 et n

Posté par
Artemisflyre : ln(n!) 24-10-18 à 14:54

Oh oui ! Je n'y avais pas pensé !
J'essaierai de l'appliquer quand je reviendrais aux maths ce soir
Merci beaucoup pour votre aide lionel52


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