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Niveau autre
Logarithme et exponentielle complexe
Posté par Fractal
Bonjour 
Pourriez vous me corriger ces quelques petits exos sur le logarithme complexe? (en vue un peu plus tard d'exos sur les revêtements 
)
Tout est tiré de 
si vous souhaitez avoir les énoncés exacts et le cours sur lequel je m'appuie.
Citation :
Exercice I.1. Dessiner les images par l'application exponentielle des demi-droites passant par l'origine.
Exercice I.1. Dessiner les images par l'application exponentielle des demi-droites passant par l'origine.
Si
est un argument de la demi-droite D en question, On a donc 5 cas qui se présentent :
- si
est congru à 0 modulo 2pi, son sinus est nul et son cosinus égal à 1 donc l'image de D par exp est la demi-droite de l'axe réel positif qui part de 1.
- si
est congru à quelque chose entre -pi/2 et +pi/2 modulo 2pi, son cosinus est positif, donc on a une spirale logarithmique qui diverge
- si
est congru à plus ou moins pi/2, son cosinus est nul, donc on obtient le cercle de centre 0 et de rayon 1
- si
a son cosinus strictement négatif mais non égal à 1, on a cette fois une spirale logarithmique qui tend vers 0
- si
est congru à pi, on a le segment de l'axe réel ]0,1].
Citation :
Exercice I.2. Soit U un ouvert connexe de C ne contenant pas 0. On suppose que f est une fonction analytique sur U et qu'elle vérifie=\frac{1}{t})
et 
tel que )=t_0)
Montrer que f est une détermination du logarithme.
Exercice I.2. Soit U un ouvert connexe de C ne contenant pas 0. On suppose que f est une fonction analytique sur U et qu'elle vérifie
Montrer que f est une détermination du logarithme.
La fonction exp o f est analytique comme composée de fonctions analytiques, et on vérifie sans peine que sa dérivée est égale à (exp o f) / Id.
On a ainsi, en appellant g = exp o f, Id = g / g', soit en dérivant à nouveau 1 = (g'² - gg")/g'², ce qui implique que g" est identiquement nulle, car g ne peut s'annuler sur un ouvert.
D'où g est affine, linéaire d'après Id = g / g' et l'identité d'après l'hypothèse de départ.
Donc c'est bien une détermination du logarithme.
(ouille ouille ouille, je sens que je me suis bien compliqué la vie ^^)
Le reste arrive, merci d'avance
(toutes les remarques sont les bienvenues)
Fractal
La suite ^^
Citation :
Exercice I.3.
Exercice I.3.
La flemme de recopier l'énoncé. Il s'agit d'une démonstration fausse dans laquelle on doit trouver l'erreur, et ma réponse est qu'on n'a absolument pas le droit d'écrire que
Citation :
Exercice I.4. Dessiner les images par l'application
des droites parallèles à l'axe réel, à l'axe imaginaire.
Exercice I.4. Dessiner les images par l'application
L'image de (x+iy) est (x² - y²) + 2ixy.
On obtient donc des jolies paraboles, mais j'ai la flemme de trouver leurs éléments caractéristiques ^^
Citation :
Exercice I.5. Quelle est l'image d'un secteur angulaire de sommet 0 par l'application ? par 
?
Exercice I.5. Quelle est l'image d'un secteur angulaire de sommet 0 par l'application
Un autre secteur angulaire d'ouverture 2 (resp. n) fois plus grande (les calculs sont triviaux).
Citation :
Exercice I.6. Soit U un ouvert connexe de C sur lequel existe une détermination du logarithme.
Montrer qu'il existe une fonction holomorphe
telle que
^n = z)
Combien existe-t-il de telles fonctions ?
Exercice I.6. Soit U un ouvert connexe de C sur lequel existe une détermination du logarithme.
Montrer qu'il existe une fonction holomorphe
Combien existe-t-il de telles fonctions ?
Soit log une détermination du logarithme sur U.
Alors en posant
Ensuite, c'est facile de trouver n fonctions vérifiant cette propriété (avec n déterminations du logarithme qui diffèrent de 2ipi chacune, exp étant injective sur une bande de largeur 2ipi).
Ensuite si on considère f et g deux telles fonctions, 0 n'appartenant pas à U on peut considérer f/g dont on remarque qu'il s'agit d'une racine n-ième de l'unité, donc il ne peut y avoir plus de n déterminations de la racine n-ième.
Finalement, il y a exactement n telles fonctions
Fractal
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