Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau BTS
Partager :

logarithme néperien exo?

Posté par El_Gladiator (invité) 18-02-05 à 20:45

Bonjour a tous j'ai de grosse lacune en math surtout sur le chapitre sur les logarithme népérien pouvez vous m'aider:
alors j'ai un exo qui dit : onconsidére la fonction f definie sur ]0, + l'infini[ par f(x)= 1/x +lnx et on désigne par C sa courbe repésentative dans un répére orthonormal. On me demande de
_Determiner les limites de f en 0 et en +l'infinie. En déduire les eventuele asymptotes a C.
_ Calculer f'(x) pour tout x de ]0, +l'infini[.
_ Quel est le minimum de la fonction f ?En deduire que ,pour tout x de ]0, + l'infini[ on a : xlnx >ou egal  x-1

Posté par El_Gladiator (invité)re : logarithme néperien exo? 18-02-05 à 21:28

personne pour m'aider?

Posté par
Nightmare
re : logarithme néperien exo? 18-02-05 à 22:08

Bonjour

1)f(x)=\frac{1}{x}\(1+xln(x)\)

Or :
\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x)}{x}=0
en posant :
x=\frac{1}{X} :
\lim_{X\to 0} Xln\(\frac{1}{X}\)=0
soit
\lim_{X\to 0} -Xln(X)=0
et au final :
\lim_{X\to 0} Xln(X)=0

On en déduit :
\lim_{x\to 0} f(x)=(+\infty)\times\(1+0\)=+\infty
attention L'étape intermédiaire n'est pas à marquer sur une copie

On a donc ici une asymptote verticale d'équation x=0

On a de plus :
\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0
et
\lim_{x\to +\infty} ln(x)=+\infty

donc
\lim_{+\infty} f=+\infty

2)f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}
soit
f'(x)=-\frac{1-x}{x^{2}}

f' s'annule pour x=1

On a de plus :
f''(x)=\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}
donc
f''(1)=3>0
d'ou 1 est minimum de f

On a alors , \forall x\in]0;\infty[ :
\frac{1}{x}+ln(x)\ge 1
donc
\frac{1+xln(x)}{x}\ge 1
donc x>0 :
1+xln(x)\ge x
ie
xln(x)\ge x-1


Jord

Posté par
dad97 Correcteur
re : logarithme néperien exo? 18-02-05 à 22:08

Bonsoir El_Gladiator,

f(x)=\frac{1}{x}(1+xln(x))

or \lim_{x\to 0^+}{xln(x)}=0 ...

f^'(x)=\frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})

d'où f^'(x)=0\;\Longleftrightarrow\;1-\frac{1}{x}=0 ...


voilà avec cela tu va pouvoir démontrer que pour tout x>0, f(x)\ge 1 soit \frac{1}{x}(1+xln(x))\ge 1 ...

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : logarithme néperien exo? 18-02-05 à 22:09

oups quelques secondes de retard



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !