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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Loi asymptotique d'une variable aléatoire

Posté par
Bastien51
20-10-20 à 13:29

Bonjour,

Si X suit une loi binomiale de paramètre (n,p), que signifie calculer la loi asymptotique de la loi de X ? Et comment faire ?

Posté par
lionel52
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 13:33

Hello! En gros chez toi le but si X_n \sim B(n,p) c'est de trouver une v.a Y telle que pour tout k entier P(X_n=k)  \to_{n\to \infty} P(Y=k)

En gros à k fixé trouve la limite de P(X_n=k) et "reconnais la loi de limite"

Posté par
Bastien51
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 13:38

Merci pour la réponse
Mais pour le cas d'une loi binomiale, si je fais tendre n vers l'infini, si p<1 alors P(X=k) va forcément valoir 0 non ?

Posté par
GBZM
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 13:43

Bonjour,

Hum ...

Ça ne fait pas tellement sens : la limite de P(X_n=k) quand n tend vers l(infini est égale à 0, quel que soit l'entier k.

Ce qui fait sens est de considérer la limite de \dfrac1{\sqrt n}(X_n-np).

Bastien51, peux-tu préciser le contexte de ta question ?

Posté par
Bastien51
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 13:49

Bonjour GBZM,

En fait, sur une population de N personne, il y a 1000 malades.
Je prends un échantillon de 500 personnes parmi les N et ma variable aléatoire X donne le nombre de personne malade tirée.
J'ai donc X qui suit une loi binomiale B(500, 1000/N).

Je dois donner la loi asymptotique de X.
Je connais le théorème central limite mais je ne sais pas vraiment si cela peut m'aider ici...


Posté par
Bastien51
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 13:52

Je me suis dit que peut être je pourrais calculer la loi asymptotique d'un estimateur du paramètre de fréquence dans ma loi binomiale.
Mais je n'arrive ensuite pas à faire de lien avec la loi asymptotique de la variable aléatoire.

Posté par
GBZM
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 14:24

Très très bizarre ton histoire ...

Ton n est fixe et ton p tend vers 0, c'est ça ?
À la limite, on a presque sûrement 0, non ?

Posté par
Bastien51
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 14:32

Oui je trouve aussi

Je ne sais pas vraiment ce qui tend vers quoi.
Je prends toujours un échantillon de 500 personnes dans ma population de N personnes.
Parmi ces 500 j'ai donc une proba 1000/N de tirer un malade.

La seule chose qui peut varier pour moi c'est  le nombre N (?).

Posté par
GBZM
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 14:40

Peux-tu écrire l'énoncé exact ?

Posté par
Bastien51
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 14:56

Alors c'est vraiment l'énoncé.
Ce n'est pas grave, j'essayerai de demander à un professeur quand j'aurais l'occasion.
Merci en tout cas !

Posté par
Zrun
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 15:05

Ici tu peux remarquer que np est constant égal à 1000. Sers toi de cette hypothèse pour trouver un équivalent de P(X_n=k) quand n tend vers l'infini

Posté par
GBZM
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 20-10-20 à 15:11

Hum hum... Avec n=500 et p=1000/N, je n'ai pas vraiment l'impression que np soit constant.

Posté par
Zrun
re : Loi asymptotique d'une variable aléatoire 21-10-20 à 15:03

effectivement j'ai lu l'énoncé trop vite, j'ai cru que N était le paramètre de la loi Binomiale.
Ben du coup, ici on temps vers 0 p.s.



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