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loi binomiale

Posté par
romu 24-05-08 à 17:59

Bonjour,

Soient $p\in [0,1]$ et $X_1,...,X_n$ i.i.d. $\mathcal{B}(1,p)$ . On définit $Y=X_1+...+X_n$ .

Je voudrais écrire $P_Y$ (la loi de $Y$ ) comme une combinaison linéaire d'éléments de $\Delta=\{\delta_x:\ x\in \mathbb{R} \}$
( $P_Y$ est appelée loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ ).

Donc je sais que pour tout $i$ ( $i=1,...,n$ ), $X_i=p\delta_1+(1-p)\delta_0$ , mais je ne vois pas comment montrer que $P_Y=\mathbb{P}\circ Y^{-1}=\Bigsum_{k=0}^n\ C_n^k\ p^k\ (1-p)^{n-k}\ \delta_k$ .

Merci pour votre aide.

Posté par re : loi binomiale 24-05-08 à 18:22

Désolé j'ai fait une erreur, je voulais dire $P_{X_i}=p\delta_1+(1-p)\delta_0$ ,

a't'on une relation entre les $P_{X_i}$ et et $P_Y$ ?

Posté par re : loi binomiale 24-05-08 à 19:38

Bon je crois que j'ai trouvé, je sais pas si c'est bien exprimé.

Disons que toutes ces variables aléatoires sont définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

On a clairement $Y(\Omega)=\{0,...,n\}$ .

Soit $k\in Y(\Omega)$ . Notons $S$ l'ensemble des parties de $\{1,..,n\}$ qui ont $k$ éléments, donc $\textrm{Card}(S)=C_n^k$ .

L'évènement $\{Y=k\}$ s'écrit comme la réunion disjointe des évènements $\{X_i=1,\ \forall i\in J\} \cap \{X_i=0,\ \forall i \notin J\}$ , avec $J\in S$ ,

ie $3$\{Y=k\}= \Bigcup_{J\in S}\ \{X_i=1,\ \forall i\in J\} \cap \{X_i=0,\ \forall i \notin J\}$ .

Comme les $X_i$ sont i.i.d., on a pour tout $J\in S$ ,

$3$\mathbb{P}(\{X_i=1,\ \forall i\in J\} \cap \{X_i=0,\ \forall i \notin J\})\\ \\ =\mathbb{P}(\{X_i=1,\ \forall i\in J\} ).\mathbb{P}(\{X_i=0,\ \forall i \notin J\})\\ \\ =\mathbb{P}(\Bigcap_{i\in J}\ \{X_i=1\}).\mathbb{P}(\Bigcap_{i\notin J}\ \{X_i=0\})\\ \\ = \Bigprod_{i\in J}\ \mathbb{P}(\{X_i=1\}).\Bigprod_{i\notin J}\ \mathbb{P}(\{X_i=0\})\\ \\ =p^k(1-p)^{n-k}$ .

Par $\sigma$ -additivité de $\mathbb{P}$ , on a donc $\mathbb{P}(\{Y=k\})= C_n^k\ p^k\ (1-p)^{n-k}$ .

D'où pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $P_Y(\{k\})=\mathbb{P}(Y=k)=\Bigsum_{k=0}^n C_n^k\ p^k\ (1-p)^{n-k}\ \delta_k(\{k\})$ .

Comme $Y(\Omega)$ est fini et que $\Bigsum_{k=0}^n C_n^k\ p^k\ (1-p)^{n-k}\ \delta_k$ coïncident sur tout singleton, par $\sigma$ -additivité, ces deux mesures coïncident sur $\mathcal{P}(Y(\Omega))$

Posté par re : loi binomiale 24-05-08 à 19:39

... $\Bigsum_{k=0}^n%20C_n^k\%20p^k\%20(1-p)^{n-k}\%20\delta_k$ coïncide avec $P_Y$

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