Bonjour à tous,

Après quelques heures passées sans succès à tenter de trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance d'une loi binomiale négative, je viens à vous en dernier recours (rien non plus sur internet).

On définit la loi binomiale négative NB(t,p) par :
(j'ai tenté de démontrer que la somme des probabilités faisait bien 1, mais sans succès ; à la rigueur tant pis, ce n'est pas cela qui m'intéressait le plus)
On suppose que l'on a un échantillon de n valeurs suivant la loi binomiale négative et on veut déterminer les EMV.

Pour p, pas de problème, on arrive sans trop de difficultés à :
avec la moyenne de l'échantillon (je peux écrire le détail des calculs si cela intéresse quelqu'un).

Pour t, par contre, je suis complètement bloqué.
On a en effet comme fonction de vraisemblance, après développements :
(toutes les sommes et les produits vont de 1 à n, donc les bornes sont sous entendues)
Ce qui est évidemment impossible à dériver par rapport à t, à cause des factorielles. Passer par le log n'arrange pas davantage les choses, puisque que l'on a une somme avec le t en borne maximale à dériver, ce qui n'est pas davantage pratique.

Profitant du fait que t est nécessairement entier, j'ai donc eu l'idée de calculer en me disant que si j'arrivais à comparer cette expression à 1, je saurais exactement quelle valeur de t me permettrait de maximiser ma fonction f.
Après quelques lignes de calcul, j'arrive à :

à comparer à 1.
Et là, je ne vois absolument pas ce que je peux bien faire. Si je prends le log, j'arrive à :

à comparer à 0, mais je n'arrive pas à obtenir un beau t= quelque chose avec une jolie formule explicite.
Quelqu'un aurait-il une piste, un conseil, une suggestion?

En vous remerciant par avance

Accessoirement, je crois que la BN(t,p) est une somme de t lois géométriques indépendantes de paramètre p (lues sur ), mais je n'ai pas trouvé en quoi cela pouvait m'aider.