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Niveau maths spé
Loi d'un maximum
Posté par Olimpe8
Bonsoir à tous,
j'ai un petit problème pour déterminer la loi d'une variable aléatoire. Je vous soumet l'énoncé:
On considère deux nombres entiers p et n tels que 1
pn et une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On extrait de cette urne simultanément et au hasard p jetons et on désigne alors par X (resp Y) la variable aléatoire indiquant le plus petit (resp grand) des numéros des p jetons tirés.
(on se restreindra dans tout l'exercice au cas p=3)
1. Montrer que 
(de j=p à n) de p parmi j = p+1 parmi n+1
2. Trouver la loi de Y. Calculer E(Y), E(Y(Y+1)) et V(Y).
...
J'ai réussi à montrer la première égalité par récurrence, mais je bloque sur la loi de Y. Je pensais passer par la loi d'un maximum. Pour cela je pose la variable aléatoire Zi indiquant la valeur du jeton au i-ème tirage puis de passer par la fonction de répartition FY. J'obtiens:
FY(y)= P(Yy)
= P(max (Z1,Z2,Z3) y)
= P((Z1y)
(Z2y)(Z3y))
Et là j'ai quelques problèmes pour aller plus loin...
Merci d'avance
bonjour;
hypothèse à vérifier:
tirer p jetons parmi n.....
dire que k est le plus grand.
c'est dire qu'on choisit p et p-1 jetons plus petits que p parmi n-1 différents de k
c'est donc
si mes calculs sont exacts et mon raisonnement aussi...
alors
mais ça me parait bizarre....je verrais plutôt
en fait je me suis vraiment planté dans mon raisonnement
Je cherche P(Y=k)
on choisit k.
et p-1 jetons inférieurs à k
je ne sais pas si cela peut aider....
bonjour,
je suis d'accord avec la dernière expression de p(Y=k) donnée par estafette
la plus petite valeur prise par Y c'est p on a donc
(Y)=[p;n]
en utilisant la première question tu trouves bien que
sauf erreur de ma part
en principe, je pense réussir à le faire facilement.....
Citation :
Trouver la loi de Y. Calculer E(Y), E(Y(Y+1)) et V(Y).
Trouver la loi de Y. Calculer E(Y), E(Y(Y+1)) et V(Y).
évaluons
le maximum est inférieur à k, signifie qu'on a choisi les p boules parmi {1;2...k}
donc
je poste le reste dès que possible, avec les calculs d'espérance
Il est bien évident que c'est un brouillon et que ce n'est pas rédigé (les conditions sur k sont à examiner de près)
je vais écrire nCp pour les choix...
voila la loi, mais on peut améliorer l'écriture
calcul de l'espérance:
il faut connaitre k.P(X=k) et sommer....
donc
reste à définir et à bien préciser les valeurs des bornes de la somme.
on a une somme télescopique au début
on doit trouver quelque chose comme
oh pardon:
on doit trouver quelque chose comme
en principe les petits points représentent 0
et il y a encore du travail pour évaluer la some restante.
bonjour,
stafette et olimpe8
je reviens sur mon post d'hier en fait la formule d'estafette avec laquelle j'étais d'accord c'est l'expression de p(Y
k) et non celle de p(Y=k)
pour le calcul de l'espérance on peut peut être utiliser ici le fait que E(Y)=pour k
Y()
si Olympe08 connait la formule
bonjour Veleda....
Normalement par une autre mèthode , on trouve ( "facilement") que
par exemple le maximum au loto a une espérance de 6*50/7
le minimum a une espérance de 1*50/7
la k-ième a une espérance de k*50/7
Citation :
Je vais expliquer pour le loto, mais c'est applicable pour ce problème:
La méthode: choisir 6 boules ça revient à choisir 7 nombres
dont la somme vaut 50 :
a_0 le plus petit
a_1 la différence entre le plus petit et le suivant
..
a_7 ce qui manque pour faire 50
on a 7 variables aléatoires-numéros qui ont tous la même espérance : et leur somme vaut 50
Je vais expliquer pour le loto, mais c'est applicable pour ce problème:
La méthode: choisir 6 boules ça revient à choisir 7 nombres
dont la somme vaut 50 :
a_0 le plus petit
a_1 la différence entre le plus petit et le suivant
..
a_7 ce qui manque pour faire 50
on a 7 variables aléatoires-numéros qui ont tous la même espérance : et leur somme vaut 50
Bonsoir,
je trouve bien p(1+n)/p+1 pour l'espérance en utilisant la formule trouvée pour la loi de Y.
Les calculs suivant ne sont pas trop compliqués non plus.
Par contre la question qui suit me pose un petit problème:
3. Donner, en utilisant un argument de symétrie, une comparaison entre les lois de n+1-X et Y. En déduire E(X) et v(X), puis E(X2).
Je pense que les deux lois sont égales mais je ne vois pas comment le prouver...
bonsoir....
c'est évident...
supposons que sur chaque boule, on inscrive son numéro et le complément à n+1...
(au loto: boule 3 (et 47) boule 1 (et 49) etc....
sur la boule 24, on aurait aussi (26)
sur la 25, on aurait 2 fois 25.....
la loi de X sur le numéro réel correspond à la loi Y sur le numéro ajouté....
suis-je clair ? ou pas ?
autre façon d'expliquer:
on considère l'application de [[1; n]] dans [[1;n]]
x --> n+1 -x
c'est une bijection, décroissante qui transforme maximum en minimum et X en Y au niveau des variables aléatoires....
correspondance bijective en équiprobabilité, les variables ont la même loi de probabilité...