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Loi d'une fonction de var et convolution

Posté par
robby3 17-06-08 à 16:16

Bonjour à tous, voilà un exercice qui me pose soucis...

Citation :
Soit \large X une var de densité \large f continue par morceaux, et de fonction de répartition \large F
Soit \large Y=X^2.
1)Démontrer que \large Y admet une densité \large f_Y et l'exprimer à l'aide de \large f et \large F
Expliciter ce résultat dans la cas particulier ou \large X suit la loi centré réduite \large N(0,1)

2)Si \large X_1 et \large X_2 sont deux var indépendantes suivant la loi \large N(0,1)
justifier l'existence d'une densité pour la var \large Z=X_1^2+X_2^2 et la calculer.
3)Meme question pour \large \sqrt{Z}.



Alors, pour 1):
\large F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^2\le y=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=\Bigint_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x) dx.
Donc:

\large f_Y(y)=\frac{f(-\sqrt{y})+f(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}.1_{\{y>0\}} \\
Donc si \large X suit la loi \large N(0,1):
\large f_Y(y)=\frac{exp(-\frac{y}{2})}{\sqrt{2\pi.y}}.1_{\{y>0\}}

2)peut-on faire avec le produit de convolution et en s'appuyant sur ce qui précéde?
(on suppose ne pas connaitre la densité de la loi du \large \chi^2

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:22

Bonjour
pas si vite, la jeunesse !
y est choisi comment ? tu ne devrais pas distinguer le cas y négatif AVANT d'écrire sa racine ?

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:22

j'obtiens:
\large f_Z(z)=\Bigint_R1_{\{x>0\}} \frac{exp(-\frac{x}{2})}{\sqrt{2\pi.x}}.1_{\{y-x>0\}}\frac{exp(-\frac{(y-x)}{2})}{\sqrt{2\pi.(y-x)}} dx.dy

aprés faudrait faire un changement de variable bien pratique mais je vois pas lequel!

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:23

Bonjour lafol

non mais Y=X^2
donc la variable Y ne prend que des valeurs positives sauf erreur donc y\ge 0

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:25

donc tu peux commencer par f_Y(y)=0 si y<0, puis annoncer clairement : pour tout y positif, blablabla

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:25

oui mais j'ai mis l'indicatrice

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:27

je te chicanais surtout sur le "avant"

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:28

Citation :
je te chicanais surtout sur le "avant"

>
ok d'accord!

sinon ce que je fais c'est correct?

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:29

petite rectification dans l'expression de f_Z(z), à la fin,c'est dx...et pas dx.dy

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:33

sinon, je suis d'accord avec ton f_Y, oui

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 16:39

ok d'accord.
as tu une idée pour mon f_Z(z) ??

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 17:02

en fait j'ai écrit f_Z(z) mais y'a pas de z dans mon expression!!

j'ai donc \large f_Z(z)=\Bigint_R 1_{[y>0]}\frac{exp(-\frac{y}{2})}{\sqrt{2\pi.y}}.1_{[z-y>0]}\frac{exp(-\frac{(z-y)}{2})}{\sqrt{2\pi(z-y)}} dy

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 17:29

aprés avoir cogité un peu...
j'ai ceci:
\large f_Z(z)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^z \frac{1}{\sqrt{y(z-y)}} dy

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 17:35

si je pose y=zu,j'améliore les bornes de l'intégrale mais je sais pas si ça sert vraiment...

\large y=z.u

\large f_Z(z)=\frac{1}{2\pi}.exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^1\frac{1}{\sqrt{u(1-u)}} du

aprés bah je vois pas trop quoi faire!

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 17-06-08 à 17:56

quand je calcul ça à maple:
\large \Bigint_0^{1,0} \frac{1}{\sqrt{u(1-u)}} du=2.000000???

vous voyez pourquoi?

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 10:56

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:25

c'est pour le calcul de l'intégrale ? multiplie haut et bas par 4, mets le contenu de la racine sous forme canonique, pose sin t = 1-2u, et ça doit s'arranger

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:33

je cherche ça:
\large f_Z(z)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{z}{2})\Bigint_0^1 \frac{1}{\sqrt{u(1-u)}du

tu me conseil de faire ça?

\large \Bigint_0^1 \frac{1}{\sqrt{u^2(\frac{1}{u}-1)}} du
puis de poser sin(t)=u ??
du=cos(t)

ça donne \large \Bigint_0^{\pi} \frac{cos(t)}{sin(t).\sqrt{\frac{1}{sin(t)}-1}} dt
???

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:34

ah non pardon,j'ai mal lu!

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:38

des erreurs : multiplie par 2 (qui devient 4 sous la racine) :
\large \Bigint_0^{1} \frac{1}{\sqrt{u(1-u)}} du= \Bigint_0^{1} \frac{2}{\sqrt{4u(1-u)}} du = \Bigint_0^{1} \frac{2}{\sqrt{1-(2u-1)^2}} du
puis pose sint = 2u-1

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:39

choisis bien l'intervalle de t pour que le cos reste positif et qu'on ait une bijection

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:44

\large sin(t)=1-2u => u=\frac{1-sin(t)}{2}

donc \large du=-\frac{cos(t)}{2}

\large \rm u=0 =>sin(t)=\frac{1}{2} donc t=\frac{\pi}{6}
\large \rm u=1=>sin(t)=-1 donc t=-\frac{\pi}{2}

donc \large \Bigint_0^1 \frac{1}{\sqrt{u(1-u)}} du=\Bigint_{0}^1 \frac{1}{u.\sqrt{\frac{1}{u}-1}} du=\Bigint_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{-\pi}{2}} \frac{-cos(t).\sqrt{1-sin(t)}}{(1-sin(t).\sqrt{1+sin(t)}} dt

c'est ça??

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:46

oula!!
bon j'avais pas lu tes 2derniers posts...
je recommence aprés

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 12:56

\large \Bigint_0^{1}\frac{1}{\sqrt{u(1-u)}}du=\Bigint_0^{1}\frac{2}{\sqrt{4u(1-u)}}du=\Bigint_0^{1}\frac{2}{\sqrt{1-(2u-1)^2}}du \\ =\Bigint_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{cos(t)}{\sqrt{1-sin^2(t)}} dt=\frac{\pi}{3}??

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 16:19

Alors si 2u-1 = sint, quand u = 0, sint = -1, donc t = ?
quand u = 1, sint = 1, donc t = ?

et tu as appris en classe de troisième (si, si !) une formule dite fondamentale de la trigo .... tu sais, avec des sin² et des cos² ...

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 18:35

\large \Bigint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos(t)}{\sqrt{cos^2(t)}}dt=\Bigint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1.dt=\pi

donc \large f_Z(z)=\frac{1}{2}exp(-\frac{z}{2}).1_{[z>0]}

donc on retrouve une loi exponentielle de parametre (1/2)
il s'agit donc de la loi du \chi^2 à 2 degrés de liberté.

j'ai réussi la question 3 aussi...
je trouve \large f_{\sqrt{Z}}(z)=\frac{1}{2}exp(-\frac{z^2}{2}).1_{[z>0]}

ça semble bien coller!!!
Merci encore une fois Lafol

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 18-06-08 à 21:56

arrête de rougir tout le temps !
à la prochaine

Posté par
stokastikre : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 09:37

La primitive de  1/sqrt(u(1-u))  est connue non ? Arcsinus ou un truc du genre ?

Sinon une remarque, la fonction Bêta : B(c,d)=\int_0^1u^{c-1}(1-u)^{d-1}du. Ici tu as calculé B(1/2,1/2). Tu peux donc trouver le résultat si tu connais l'expression de la fonction Bêta à l'aide de la fonction Gamma : B(c,d)=\Gamma(c)\Gamma(d)/\Gamma(c+d), et si tu sais que \Gamma(1)=1 et \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}.

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 10:56

Citation :
La primitive de  1/sqrt(u(1-u))  est connue non ? Arcsinus ou un truc du genre ?

maple ne me le trouve pas donc,je crois pas que ce soit arcsin

merci pour la remarque avec la fonction Béta

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 11:13

robby : le changement de variable que je t'ai fait faire prouve qu'une primitive est Arcsin(2u-1) , sisi !

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 11:14

ah oué!! pfff
bah pourquoi maple il m'a pas aidé sur ce coup là??
(pfff ce logiciel aussi )

autant pour moi alors!

Posté par
lafol Moderateurre : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 11:29

un logiciel, ça ne réfléchit pas, toi, oui !

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 11:31

oué enfin sur ce coup là...j'ai pas trop trop réfléchis quand meme...

Posté par
stokastikre : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 12:59

Ceci devrait fonctionner en Maple:

f:=u->1/sqrt(u*(1-u));
int(f(u),u=0..x);

Posté par
robby3re : Loi d'une fonction de var et convolution 19-06-08 à 13:45

effectivement ça fonctionne
Merci àtout les deux!


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