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Loi de Cauchy et Somme de variables aléatoires indépendantes

Posté par
robby3 29-03-08 à 11:19

Bonjour tout le monde,
encore de la proba...

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de meme loi $C(c)$ pour c>0
on a $S_n=\bigsum_{k=1}^{n} X_k$

il faut déterminer la loi de $S_n.$

alors j'ai penser faire par les fonctions caractéristiques...

j'ai $\phi_X(x)=exp(-|x|)$

donc je me suis dit comme les $X_n$ sont indépendants et de meme loi,j'ai:
$\phi_{S_n}(x)=exp(-n.|x|)$ sauf erreur.
donc aprés,j'ai un truc qui dit que si la fonction cacractéristique est integrable, on a $f_{S_n}(t)=\frac{1}{2\pi}.\Bigint_R exp(-itx).\phi_{S_n}(x)dx$
donc je me suis laissé croire que ça pouvais marcher...

or je fais ça...et je me retrouve avec $f_{S_n}(t)=\frac{1}{\pi}.\frac{it}{n^2+t^2}$
alors que je devrais trouver que $S_n$ suit une loi ce Cauchy de parametre $n.c$

Alors ou est-ce que je me suis planté??
Merci d'avance de votre aide!

Posté par Loi de Cauchy et somme de variables aléatoires indépendantes 29-03-08 à 12:21

Bonjour !

Il me semble que dans le calcul de l'intégrale, vous n'avez pas tenu compte de la valeur absolue de x. Il faut couper l'intégrale en deux parties, une sur les réels négatifs, l'autre sur les positifs ...
J'ai noté que vous aviez supposé que c=1 pour le calcul.
Bon week-end !

Posté par re : Loi de Cauchy et Somme de variables aléatoires indépendante 29-03-08 à 19:53

Bonsoir PIL!

j'ai découpé en deux l'integrale !
par contre pourquoi dite vous que j'ai supposé C=1...parce qu'en fait quand je fais
$\frac{1}{2\pi}.\Bigint_R exp(-itx).\phi_{S_n}(x)dx$
je ne vois C intervenir nulle part
pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait?

_{Vous pouvez me tutoyer}

Posté par loi de Cauchy et somme de variables aléatoires indépendantes 30-03-08 à 19:51

Bonsoir Robby,

D'abord pour l'intégrale.  Tu dois avoir fait juste une faute de signe : la somme des deux intégrales doit te donner (sans les facteurs 1/2pi)
                  1/(n+it)   +   1/(n-it)
donc 2n/(n^2 + t^2), ce qui te conduit bien à une loi de Cauchy de paramètre n.
Ensuite pour le paramètre c : tu dis que tu considères des lois
C(c), mais la fonction caractéristique que tu prends est
                       exp(-va(x))            (va=valeur absolue)
ce qui correspond au cas c=1. Le cas général est
                       exp(-c*va(x)).
Tout de bon Robby.

Posté par re : Loi de Cauchy et Somme de variables aléatoires indépendante 30-03-08 à 19:54

ah d'accord!
effectivement!
Merci c'est cool PIL!
Merci à toi et bonne soirée!

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