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Loi de Paréto

Posté par
H_aldnoer 03-06-08 à 18:07

Bonsoir,

j'ai besoin d'une petite vérification sur la première partit, ainsi qu'une aide sur la partit 2 de cette exercice :
On dit que \Large{X} suit la loi de Paréto de paramètre \Large{a} et \Large{\theta >0} et l'on note \Large{X \sim \mathcal{P}(a,\theta) ssi \Large{X=\theta exp(Y)} où \Large{Y \sim \mathcal{E}(a)} (loi exponentielle).

1) Déterminer la fonction de répartition puis la densité de probabilité de \Large{X}.

Donc je trouve \Large{ F_X(x) = 1 - exp( -\lambda ln(\frac{x}{\theta})) } pour la fonction de répartition et \Large{f_X(x)=\frac{\lambda}{x}} pour la densité de probabilité.

2) On propose d'estimer \Large{\theta} à partir d'un n-échantillon \Large{(X_1,\cdots,X_n)} de même loi que \Large{X} par \Large{\hat{\theta_n}=min_{1\le k\le n} X_k}. Déduire de ce qui précède la loi de probabilité associée à \Large{\hat{\theta_n}} et montrer que \Large{\hat{\theta_n}} tend vers \Large{\theta} presque sûrement.

Ici, je n'y arrive pas.
Je me suis aussi posé la question de savoir s'il était possible de calculer la fonction de répartition ainsi que la densité de \Large{\hat{\theta_n}}.

D'avance merci.

Posté par
veledare : Loi de Paréto 03-06-08 à 18:32

bonjour,
FX(x)=1-(/x)si x>0 et 0 sinon
pour une densité je trouve en dérivant
fX(x)=(/)(/x)pour x>0 et 0 sinon

Posté par
veledare : Loi de Paréto 03-06-08 à 18:55

pour la 2)
pour aller plus vite je note m le minimum des Xi
p(mx)=1-p(m>x)
(m>x)<=>_{k=1}^n(Xk>x)
et p(Xk>x)=1-p(Xkx)=1-FX(x)

donc tu peux trouver la fonction de répartition de m (à condition que les Xksoient indépendantes)

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 03-06-08 à 19:01

Bonsoir veleda, comment trouves-tu la fonction de répartition ?
Pour ma part, j'ai fait ainsi :
\Large{X\le x \Leftrightarrow Y\le ln(\frac{x}{\theta})}

Donc nous avons :
\Large{F_X(x)=P(X\le x)=P(Y\le ln(\frac{x}{\theta}))=F_Y(ln(\frac{x}{\theta}))}.

Y'a-t-il une erreur dans mon raisonnement ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 03-06-08 à 19:20

Peut-être est-ce tout simplement la même chose car :

\Large{exp(-\lambda ln(\frac{x}{\theta})) = exp(-\lambda ln(\frac{1}{\frac{\theta}{x}})) = exp(\lambda ln(\frac{\theta}{x}))}=(\frac{\theta}{x})^{\lambda}  

?

Par contre je ne comprend pas la précision "si x>0".

Posté par
veledare : Loi de Paréto 03-06-08 à 20:26

oui ta fonction de répartition est exacte je l'ai mise sous une autre forme

si x<0  le ln(x/)=?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 03-06-08 à 21:20

X =eYne prend que des valeurs positives puisque>0

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 14:12

Merci veleda.
Par contre, j'ai du mal à saisir l'équivalence suivante :
\Large{min_{1\le%20k\le%20n}%20X_k > x \Leftrightarrow \Bigcap_{k=1}^nX_k > x}.

Si à la place du minimun, nous avions un maximun, est-ce la même chose ?
(i.e \Large{max_{1\le%20k\le%20n}%20X_k > x \Leftrightarrow \Bigcap_{k=1}^nX_k > x}.)

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 16:57

si le minimum est>x tous les Xkétant supérieurs ou égal à leur minimum Xkm>x
si M est le maximum on a M<x <=>tous les Xksont inférieurs à x

Posté par
stokastikre : Loi de Paréto 04-06-08 à 16:59

Ben imagine que t'as un groupe de personnes.

La plus petite personne du groupe mesure plus que 1m60, cela signifie bien que toutes les personnes mesurent plus que 1m60.

Maintenant la plus grande personne du groupe mesure plus que 1m80 ; cela signifie-t-il qu'elles mesurent toutes plus que 1m80 ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:01

supérieurs ou égaux à leur minimun

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:05

Donc si je comprend bien :
1) si nous avons \Large{min_{1\le%20k\le%20n}X_k>x} puisque pour tout \Large{1\le k\le n} ,
\Large{X_k\ge min_{1\le%20k\le%20n}X_k}, on a que pour tout \Large{1\le k\le n} , \Large{X_k> x} d'où \Large{\Bigcap_{k=1}^nX_k%20%3E%20x}

2) si nous avons \Large{max_{1\le%20k\le%20n}X_k<x} puisque pour tout \Large{1\le k\le n} ,
\Large{X_k\le max_{1\le%20k\le%20n}X_k}, on a que pour tout \Large{1\le k\le n} , \Large{X_k< x} d'où \Large{\Bigcap_{k=1}^nX_k<x}.

Est-ce bien cela ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:08

non pour la plus grande mesure plus de 1,80m  on ne peut rien dire pour les autres
mais si elle mesure moins de 1,80 toutes les autres aussi

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:13

désolée je n'avais pas vu que c'était Stokastick(bonjour) qui intervenait
d'accord avec ton dernier post
mais je dois liberer l'ordinateur car je ne suis pas chez moi

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:16

D'accord, merci veleda.
Cependant je ne comprend pas pourquoi quelque chose. En continuant ainsi, nous allons trouver la fonction de répartition. Puis, en dérivant, la densité. Mais quand est-il de la loi de probabilité ?
A bientôt j'espère!

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 17:25

Juste pour résumer :
\Large{max_{1\le k\le n} X_k \le x \Leftrightarrow \Bigcap_{k=1}^n X_k\le x}
\Large{min_{1\le k\le n} X_k \ge x \Leftrightarrow \Bigcap_{k=1}^n X_k\ge x}

et cela ne change rien de prendre des inégalités stricts.

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 19:55

j'ai retrouvé mon ordinateur
si m>x alors les Xk>x
dans le cas d'une v.a. continue P(Xx)=P(X<x) donc on ne risque pas trop de se tromper dans les inégalités
mais dans le cas d'une loi discrète il faut faire attention P(m>x) n'est pas nécessairement égale à P(mx)

pour ta question sur la loi de probabilité :ici il s'agit d'une variable continue  sa loi est connue si l'on connait une densité* peut être que l'expression de la densité trouvée permettra de reconnaitre une loi classique on verra
*une v.a.à densité X a plusieurs densités ,si f est une densité toute fonction g prenant les mêmes valeurs que f sauf en un nombre fini de points est aussi densité

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 20:22

Alors je poursuis dans l'exercice :
Cherchons la fonction de répartition de \Large{\hat{\theta}_n}. On a \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=P(\{\hat{\theta}_n\le x\})=P(\{min_{1\le%20k\le%20n}%20X_k\le x\})}
Soit \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=1-P(\{min_{1\le%20k\le%20n}%20X_k> x\})=1-P(\Bigcap_{k=1}^n\{X_k> x\})=1-\Bigprod_{k=1}^nP(\{X_k\ge x\})} si je ne me trompe pas.

Il reste donc à voir \Large{P(\{X_k\ge x\})=1-P(\{X_k\le x\})=1-F_X_k(x)} ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 20:22

(merci pour les précisions concernant le cas discret du cas continu)

Posté par
veledare : Loi de Paréto 04-06-08 à 21:11

oui c'est cela

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 21:24

Donc on arrive à cette expression \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=1-\Bigprod_{k=1}^n(1-F_{X_k}(x))} ?

Il faut ensuite que j'exprime \Large{F_{X_k}(x)} ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 04-06-08 à 21:52

On a bien que \Large{X_k%20\sim%20\mathcal{P}(a,\theta) pour chaque k ?
J'ai du mal à saisir ce que signifie que \Large{(X_1,\cdots,X_n)} a même loi que \Large{X}.

Posté par
veledare : Loi de Paréto 05-06-08 à 16:34

avec un peu de retard cela veut dire FXk=FX

donc  pour tout réel x 1-FXk(x)=1-FX(x)=(/x)
d'où avec ma notation pas très jolie
Fm(x)=1-(/x)n
donc m suit la loi de Pareto P(,n)
je ne pense pas qu'il y ait erreur

Posté par
veledare : Loi de Paréto 05-06-08 à 16:36

si il y a une erreur de frappe c'est P(,n)

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 16:47

Donc dire qu'une suite \Large{(X_1,\cdots,X_n)} de variables aléatoires indépendantes (ou pas ?) à même loi que \Large{X} signifie juste que pour tout \Large{1\le k\le n} \Large{X_k} à même loi que \Large{X} ce qui est équivalent à \Large{X_k} à même fonction de répartition que \Large{X} car celle-ci caractérise la loi.
C'est bien cela ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 17:14

(remarque : sur la densité, ne serait-ce pas plutôt \Large{f_X(x)=\frac{\alpha}{\theta}(\frac{\theta}{x})^{\alpha+1}} ?)

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 17:31

Sinon j'ai refait les calculs, je trouve bien que \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=1-(\frac{\theta}{x})^{na}} donc \Large{\hat{\theta}_n\sim \mathcal{P}(na,\theta)}.

Je cherche par curiosité la densité en dérivant je trouve \Large{f_{\hat{\theta}_n}(x)=n\frac{a}{\theta}(\frac{\theta}{x})^{na+1}}.

Est-ce bien cela ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 05-06-08 à 19:17

oui c'est d'accord

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 19:28

Euh, d'accord pour mes trois derniers posts ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 19:33

En particulier, il faut bien que les variables aléatoires soient indépendantes ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 05-06-08 à 21:38

oui, pour l'indépendance je te l'avais dit dans mon post du 03 18h50

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 22:08

Merci veleda, j'avais pas vu

Pour montrer que \Large{\hat{\theta}_n} converge presque sûrement vers \Large{\theta}, je dois montrer que \Large{\forall \epsilon >0,\, \Bigsum_{i=1}^{+\infty} P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge \epsilon) < +\infty ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 05-06-08 à 22:09

petite erreur au niveau de la somme, l'indice porte sur \Large{n} et non sur \Large{i}.

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 06-06-08 à 14:53

En fait j'ai une propriété de mon cours qui me dit que si \Large{\forall%20\epsilon%20%3E0,\,%20\Bigsum_{i=1}^{+\infty}%20P(|X_n-X|\ge%20\epsilon)%20%3C%20+\infty alors \Large{X_n} converge presque sûrement vers \Large{X}. Je voulais l'utiliser, est-ce une bonne idée ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 06-06-08 à 17:23

J'ai fait ce petit calcul :

\Large{P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge \epsilon)=P(\{\hat{\theta}_n-\theta\ge \epsilon\} \Bigcup \{\hat{\theta}_n-\theta\le -\epsilon\})=P(\{\hat{\theta}_n-\theta\ge \epsilon\})+P(\{\hat{\theta}_n-\theta\le -\epsilon\}).

Tous calculs fait je trouve \Large{P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge \epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\epsilon +\theta)+F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon).

Je ne sais pas si cela est correct et si cela permet d'aboutir!

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 06-06-08 à 17:39

En poursuivant j'arrive à quelque chose du type \Large{P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge%20\epsilon)=1+\frac{1}{(1+\frac{\epsilon}{\theta})^{na}}-\frac{1}{(1-\frac{\epsilon}{\theta})^{na}}

Il s'agit donc de prouver que la série \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}1+\frac{1}{(1+\frac{\epsilon}{\theta})^{na}}-\frac{1}{(1-\frac{\epsilon}{\theta})^{na}}}  est convergente ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 07-06-08 à 10:40

bonjour,
en reprenant l'exercice au début je vois qu'il y a une petite erreur
x>0 ne suffit pas
FX(x)=P(Xx)=P(eYx])=P(Yln(x/)
donc comme Y ne prend que des valeurs positives
FX(x)=P(Xx)=0 si0< x<
et
FX(x)=1-(/x) sinon

cela ne change rien jusqu'à la dernière question(désolée de ne pas l'avoir vu avant mais ces jours ci je suis rarement devant mon ordinateur)

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 07-06-08 à 13:00

Bonjour veleda

Citation :
désolée de ne pas l'avoir vu avant

il n'y a aucun souci!

Nous avons une expression du type \Large{ln(\frac{x}{\theta}}) et puisque \Large{\theta>0}, il faut que \Large{x>0}. En revanche je ne vois pas pourquoi il faut que \Large{x<\theta} cad \Large{\frac{x}{\theta}}<1.

Posté par
veledare : Loi de Paréto 07-06-08 à 14:46

*si x est positif inférieur à le ln(x/) existe et est négatif comme Y ne prend que des valeurs positives P(Yln(x/))=0 donc FX(x)=0
*si x> Fx(x)=P(Yln(x/)=1-(/x)

cette rectification va peut être simplifier la dernière question


[cette loi est dite "loi des revenus",Pareto avait observé,à partir de relevés fiscaux qu'au dessus d'une certaine valeur x,le nombre d'individus dans une population ayant un revenu supérieur à x decroit proportionnellement à1/x (1,5)

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 07-06-08 à 18:46

Très bien, j'ai bien compris.
Nous sommes d'accord sur cette expression : \Large{P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge \epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\epsilon +\theta)+F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon) ?

Posté par
veledare : Loi de Paréto 07-06-08 à 22:41

oui mais la fonction de répartition est nulle si x est inférieur à donc le dernier terme de l'expression est nul

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 07-06-08 à 22:57

Ah oui, effectivement.
Donc ensuite, nous avons \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=1-(\frac{\theta}{x})^{na}}.

Soit \Large{P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge%20\epsilon)=(\frac{\theta}{\epsilon+\theta})^{na}.

Par suite \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}P(|\hat{\theta}_n-\theta}|\ge%20\epsilon)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}(\frac{\theta}{\epsilon+\theta})^{na}.

Or \Large{\theta\le\theta+\epsilon}
Donc \Large{\frac{\theta}{\theta+\epsilon}\le 1}
Ce qui implique, mais ici j'ai un doute, que \Large{|\frac{\theta}{\theta+\epsilon}|^a\le 1}
Et donc que la série géométrique est convergente.

Posté par
veledare : Loi de Paréto 07-06-08 à 23:08

oui >0 donc(/(+))<1

Posté par
H_aldnoerre : Loi de Paréto 07-06-08 à 23:12

Ah oui, je croyais que l'on avait uniquement \Large{\theta%20%3E0}, alors qu'en fait \Large{a%20%3E0} aussi.
Ceci permet de conclure à l'exercice, je te remercie infiniment veleda.

Posté par
robby3re : Loi de Paréto 14-06-08 à 12:31

je suis en train de regarder cet exercice et je me rend compte que \lambda de H_aldnoer=a

et que donc:
\large F_X(x)=1-exp(-a.ln(\frac{x}{\theta}))
d'ou \large f_X(x)=\frac{a.\theta^a}{x^{a+1}}.1_{x\ge \theta}

sauf erreur...


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