Bonjour à tous et à toutes

Je suis nouvelle sur le forum, je viens chercher ici un peu d'aide pendant ce confinement, un peu désespérée par des profs qui s'en fichent...
J'essaie de résoudre un exercice sur la loi [de] Poisson et je suis complètement perdue. J'ai réussi la première question mais le reste je n'y arrive pas du tout, pourriez-vous m'aider svp ? Pour info, je suis en L3 de maths winking smiley
Merci pour tout ce que vous pourrez faire pour moi !
Bonne journée à tous !
Lilou

ÉNONCÉ :

Cet exercice porte sur la loi de Poisson.
Nous cherchons à modéliser des phénomènes du type suivant : les passages d'automobiles sur une portion de route, les instants auxquels se produisent des pannes d'un appareil parmi un grand nombre (des ampoules qui grillent par exemple), les moments d'arrivées d'avions à un aéroport, les instants de connexions d'utilisateurs à un serveur informatique,...
Dans certains cas, il est raisonnable de faire les hypothèses suivantes sur les durées séparant deux arrivées : ces durées sont indépendantes les unes des autres, chaque durée suit la même loi (cela signifie qu'on considère un système stationnaire ; cette condition n'est pas toujours remplie sur de longues périodes : par exemple, dans le cas des temps séparant le passage d'automobiles, la loi dépendra de la densité du trafic qui varie en fonction des jours et des heures) et chacune suit une loi sans mémoire. Ces hypothèses s'expriment mathématiquement de la façon suivante : les durées entre des arrivées successives sont des variables exponentielles indépendantes de même paramètre.
Donnons-nous un paramètre λ > 0 et une suite Xi de variables indépendantes de loi exponentielle de paramètres λ, c'est-à-dire de loi de densité λ exp (−λx). Les arrivées se produisent aux instants X1, (X1 +X2), (X1 +X2 +X3),... (X1 +X2 +...+Xn),...
Fixons une date t et posons la question suivante : quelle est la loi du nombre d'arrivées se produisant avant la date t ? Appelons Nt le nombre d'arrivées avant l'instant t. C'est une variable aléatoire à valeurs entières. Calculer sa loi, c'est calculer le nombre P(Nt = n) pour tout n.

1. Montrer queP(Nt =0)=P(X1 >t)=exp(−λt)
2. Montrer que

P(Nt =1)=P(X1 <t , X1 +X2 >t).
􏰀􏰀 􏰀􏰀
En déduire que
P(Nt = 1) = )) λ exp(−λx1)λ exp(−λx2) dx1dx2 = exp(−λ(x1 + x2))λ dx1dx2,
(les deux parenthèses sont deux intégrales)

où D est la partie du plan définie par
D = {(x1, x2) ∈ R2+ / x1 < t, x1 + x2 > t},
puis que
P(Nt = 1) = λt exp(−λt)

3. Montrer par récurrence que la loi de X1 + . . . + Xn est la loi de densité
λn s^(n−1)
fn(s)=( ( λ^n * s^(n−1) )/ ( (n−1)!)  ) * exp(−λs).

Pour établir l'hérédité, utiliser la formule de transfert et exprimer E(h(X1 + . . . + Xn+1)),
pour une fonction h bornée, en regroupant de la façon suivante
E(h(X1 +...+Xn+1))=E(h((X1 +...+Xn)+Xn+1)).

Indications. Les deux variables (X1 + . . . + Xn) et Xn+1 sont indépendantes et on connaît leurs lois (par hypothèse de récurrence). Le couple ((X1 + . . . + Xn), Xn+1) suit donc la loi de densité le produit des densités fn(s)f1(x). On termine le calcul grâce à un changement de variable simple : y = s + x, z = x.

4. Montrer que
P(Nt =n) = P(X1 +X2 +...+Xn <t,X1 +X2 +...+Xn+1 >t) 􏰀
=fn(s)f1(x) dsdx

où D est le domaine : ∆ = {(s, x) / s < t ,  s + x > t}.

En déduire que

P(Nt=n)= exp(−λt) * ( ((λt)^n) / (n!) ) .

Conclure.


J'ai du tout recopier, il est possible que j'ai fait une petite erreur de frappe, n'hésitez pas à e demander