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Loi de Poisson : Démo de l'espérance

Posté par
Dcamd 24-02-07 à 16:10

Bonjour, j'aimerais comprendre comment on arrive à =...

Bon, on commence par : 4$\sum_{0}^n k\times e^{-\lambda} \times \frac{\lambda^k}{k!}

Ensuite, on en déduit : 4$\sum_{1}^n k\times e^{-\lambda} \times \frac{\lambda^k}{k!}
car avec 0, cela donne 0 + ...

Donc on substitue k par 3$k = k^{,}-1

mais après comment obtient-on \lambda ?

Ca doit être rapide je pense...

Posté par
Cauchyre : Loi de Poisson : Démo de l'espérance 24-02-07 à 16:15

Bonjour,

tu sors l'exponentielle de la somme  et tu reconnais la série entière qui définit l'exponentielle à un changement d'indice pres.

Posté par
Dcamdre : Loi de Poisson : Démo de l'espérance 24-02-07 à 16:21

je ne vois pas bien.. comment fait-on après avoir sorti l'exponentielle ? 4$e^{-\lambda}\sum_{0}^n k^'\times\frac{\lambda^k^'}{k'!}

Posté par
Cauchyre : Loi de Poisson : Démo de l'espérance 24-02-07 à 16:26

On a:

3$\sum_{k=0}^{+\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}=\lambda\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}=\lambda e^{\lambda}

Posté par
Dcamdre : Loi de Poisson : Démo de l'espérance 24-02-07 à 16:33

Merci Cauchy ! C'est bon, j'ai compris... l'astuce c'était donc de mettre :

\lambda^{k} = \lambda \times \lambda^{k-1}

Merci !

Posté par
Cauchyre : Loi de Poisson : Démo de l'espérance 24-02-07 à 17:43

De rien,ravi que t'aies compris


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