5-a) La transformation du couple vers est définie par :
et
Donc .
Il est clair que et .
De plus, pour que le couple soit dans le support de la densité , on doit avoir .
En remplaçant par et en utilisant les propriétés de l'égalité, on trouve que :
.
D'où, pour que le couple soit dans le support de la densité, on doit avoir .
b) On doit calculer la loi du couple .
Nous allons utiliser la transformation de variables, en utilisant la relation suivante :
où est le déterminant de la matrice Jacobienne.
On a déjà trouvé que le support du couple est .
Maintenant, nous allons déterminer la transformation de variables. Si , alors et . En remplaçant ces valeurs dans la fonction de densité de , nous obtenons :
Le déterminant de la matrice Jacobienne est alors égal à 1, car la transformation est une translation.
Finalement, la loi du couple est :