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Loi faible des grands nombres

Posté par
MatheuxAnonym 02-12-20 à 18:53

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice et je ne vois pas comment avancer. Ce serait très gentil de m'aider, merci d'avance !!

Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires réelles de carré intégrables
(E[(X_n)²] < ∞). On s'intéresse à la somme Sn := X1 + · · · + Xn. On dit que la suite (Sn)n≥1 satisfait la loi faible des grands nombres si pour tout epsilon positif :

P(\left|\frac{S_n - E[S_n]}{n} \right| > \epsilon) \rightarrow 0  lorsque n -> ∞.

J'ai déjà montré dans les questions précédentes que :

Var(S_n) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{n}{Cov(X_i, X_j)}}

On suppose ici que : pour tous i, j ≥ 1, Xi et Xj sont indépendantes si |i − j| > 1, et la suite (Var(Xn))n≥1 est bornée
Alors :
Var(S_n) = \sum_{i = 1}^{n}{Var(X_i)} + 2 \sum_{i = 1}^{n-1}{Cov(X_i, X_i_+_1)}

Je dois en déduire que (Sn)n≥1 satisfait la loi faible des grands nombres. J'ai pensé à utiliser l'inégalité de Tchebychev mais quand j'explore cette piste je n'avance pas. J'ai voulu tester avec la variance de S_n / n mais je n'arrive pas à montrer que   Var(S_n)/n²\epsilon²   tend vers 0, je ne sais pas si c'est une bonne piste et si oui comment avancer.

Merci d'avance,

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 02-12-20 à 19:16

Déjà, tu peux te simplifier grandement la vie en remplaçant chaque X_i par  \dfrac{X_i-E(X_i)}{\sqrt{\textrm{Var}(X_i)}} et ainsi montrer seulement le résultat pour une suite de variables centrées de variance 1).

Concernant l'exercice, la suite des variances est bornée, donc la somme des variances est plus petite qu'une constante  fois n.
Quant au second terme, pour tous réels a et b,  ab \leqslant \dfrac{a^2+b^2}{2}

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 02-12-20 à 19:56

Pour le second terme, si je considère a = X_i - E[X_i] et pareil avec b pour i+1, alors je me retrouve avec  Cov(X_i, X_i_+_1) \frac{1}{2} Var(X_i) + \frac{1}{2} Var(X_i_+_1)

Donc

2 \sum_{i = 1}^{n-1}{Cov(X_i, X_i_+_1)} \sum_{i = 1}^{n-1}{Var(X_i)} + \sum_{i = 1}^{n-1}{Var(X_i_+_1)} (n-1) \times (M + M') avec M et M' des majorants de Var(X_i), Var(X_i_+_1)

C'est bien ca ?

modération> *MatheuxAnonym,
Tu n'as pas renseigné ton profil correctement je pense, comme demandé   lire  Q12 [lien]

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 02-12-20 à 20:33

Oui, tu vois alors que c'est un o(n^2)

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 02-12-20 à 21:13

Oui effectivement je l'ai remarqué, merci !


Ce qui m'intrigue c'est qu'on s'est servi du fait que la suite des variances est bornée jusqu'ici et c'était notre principal argument, or dans la suite de mon exercice j'ai la même question avec l'expression de la variance ci-dessous


Var(S_n) = nVar(X_1) + 2\sum_{k = 1}^{n-1}{(n-k)Cov(X_1_+_k, X_1)}

Et cette fois si on suppose juste que : pour tous n ≥ 1, k ≥ 0, Cov(Xn, Xn+k) = Cov(X1, X1+k); et lim k→∞ Cov(X1, X1+k) = 0. Donc on n'a plus l'hypothèse que la suite des variances est bornée.

Or, si j'applique le même raisonnement avec la nouvelle expression de Var(Sn), j'obtiens en majorant (n-k) par n pour la somme à droite du membre droit :

2\sum_{k = 1}^{n-1}{(n-k)Cov(X_1_+_k, X_1)} (\sum_{k = 1}^{n-1}{nVar(X_1_+_k)})+(\sum_{k = 1}^{n-1}{nVar(X_1)}) et je ne peux pas finir..

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 10:26

Désolé du double post, je mets un petit update de mes recherches :

nVar(X_1)  étant une constante, alors la somme tout à droite dans l'inégalité d'en bas devient  n(n-1)Var(X_1)

Donc Var(S_n) nVar(X_1) + n(n-1)Var(X_1) + \sum_{k = 1}^{n-1}{nVar(X_1_+_k)} = n^{2}Var(X_1) + \sum_{k = 1}^{n-1}{nVar(X_1_+_k)}

Or, \sum_{k = 1}^{n-1}{nVar(X_1_+_k)} = n\sum_{k=1}^{n-1}{Var(X_1_+_k)}

Il ne reste plus qu'à montrer que la somme des Var(X_1_+_k)  est bornée. Suis-je sur la bonne piste ? Et si oui pourriez vous me donner une indication de comment montrer cela ? Merci beaucoup de votre précieuse aide !!

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 11:26

Utilise la convergence de la suite des covariances pour en déduire qu'elle est bornée par une constante C.
Fixe \varepsilon>0. La définition de la CV nous dit qu'il existe K tq pour k\geqslant K, on a \textrm{cov}(\cdots)\leqslant\varepsilon^2.

Ensuite, pour n>K (on peut se contenter de ça, puisque le but est de faire tendre n vers l'infini)

\begin{array}{ccl} \\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)Cov(X_{1+k}, X_1) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} Cov(X_{1+k}, X_1) + \sum_{k=1}^{n-1} kCov(X_{n-k}, X_1)\\ \\ &\leqslant & \displaystyle (n-1)C + \sum_{k=1}^{n-1-K} kCov(X_{n-k}, X_1) + \sum_{k=n-K}^{n-1} kCov(X_{n-k}, X_1)\\ \\ &\leqslant & \displaystyle nC + \varepsilon^2\dfrac{(n-1-K)(n-K)}{2} + \sum_{k=n-K}^{n-1} kCov(X_{n-k}, X_1)\\ \\ &\leqslant & \displaystyle nC + \varepsilon^2n^2 + C\dfrac{K(2n-1-K)}{2}\\ \\ &\leqslant & \displaystyle nC + \varepsilon^2n^2 + CKn\\ \\ &\leqslant & \displaystyle (1+K)nC + \varepsilon^2n^2\\ \\ \end{array}

En divisant par n^2\varepsilon tu trouves un o(1) + \espilon^2 et je te laisse conclure à partir de là.
Attention au fait que K = K(\varepsilon) dépend de \varepsilon !

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 11:35

Indice : Exiger n>K ne suffit pas, ça te laisserait une constante C à la fin.
Par contre, si n > (K+1)\max\left(\dfrac{C}{\varepsilon^2},1\right) ...

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 14:01

Merci de votre réponse !

Il y a plusieurs choses que je voudrais clarifier voire comprendre :

. Quand vous dites d'utiliser la convergence de la suite des covariances, on sait qu'elle est bornée car lim k→∞ Cov(X1, X1+k) = 0 c'est bien ça ? Ou peut-être qu'il y a un autre argument et dans ce cas je n'ai pas compris ?

. Ensuite je ne comprends pas la 1ère égalité dans les calculs ainsi que l'indice dans votre 2eme post, et pourquoi on divise par n² * epsilon et pas par n² * epsilon²

Merci d'avance

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 14:12

Remplace epsilon^2 par epsilon^3.
La première égalité est un changement de variable

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 14:27

Un changement de variable avec (n-k) = (1+k) ?

Et du coup si je remplace epsilon^2 par epsilon^3 :

\frac{(1+K)nC + \epsilon ^{3}n^{2}}{n^{2}\epsilon}= \frac{(1+K)C}{n\epsilon } + \epsilon ^{2}

Et epsilon > 0, donc pour moi l'expression ne tend pas vers 0 c'est pour ça que je ne suis pas sûr de bien comprendre ce qu'il se passe

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 18:11

C'est par n^2\varepsilon^2 qu'il fallait diviser du coup

Je ne voulais pas te filer la réponse tout cru, mais si tu veux remplace plutôt les epsilon de mon calcul par des \delta. En divisant toujours par n^2\varepsilon^2.

En clair, du epsilon dans ton inégalité de Markov, et du delta pouvant être aussi petit que tu veux dans mon calcul.
Et regarde comment faire en sorte de trouver un majorant aussi petit que tu veux à la fin

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 19:06

Comme \lim_{k \rightarrow \infty } Cov(X_1_+_k, X_1) = 0 alors la suite des covariances est bornée par une constante C.
Soit > 0, K tq k K, Cov(X_1_+_k, X_1) .

Ainsi, lorsque n > K,

\sum_{k=1}^{n-1}{(n-k)Cov(X_1_+_k, X_1) } (1+K)nC + \delta^{2}n^{2}

Et en divisant par n²², \frac{\sum_{k=1}^{n-1}{(n-k)Cov(X_1_+_k, X_1) }}{n^{2}\epsilon^{2}}   \frac{(1+K)C}{n\epsilon ^{2}} +\frac{ \delta ^{2}}{\epsilon ^{2}}

Comme (1+K)C < et > 0,

\lim_{n -> \infty} \frac{(1+K)C}{n\epsilon ^{2}} = 0

Je ne vois pas comment me débarasser du membre droit de l'addition cependant

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 19:10

Pardon ce sont des et non pas des ² !

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 20:09

Maintenant, on réorganise tout cela.

1) Fixer un \varepsilon>0 et écrire ton inégalité de Markov pour tout n, sans lien avec ε a priori. Vraiment n'importe quel n est valable
2) Remarquer que la suite des covariances est bornée et introduire C
3)  Soit a>0. Soit \delta = \dfrac{a\varepsilon^2}8
3a) il existe un entier K tel que k>K ===> cov(...)<delta. Supprimer la ligne "soit n>K" et la remplacer par "pour tout n>K"
3b) en refaisant mon calcul avec notre delta particulier on trouve un terme \dfrac{\delta}{\varepsilon^2} = \dfrac{a}8, pour tout n assez grand
4) Remarquer que si, en plus d'être >K, notre n est également supérieur à N_0 = \dfrac{8(1+K)C}{a\varepsilon^2}, le premier terme se majore aussi en \dfrac{a}8
Alors la somme totale se majore en \dfrac{a}4, et son double se majore en \dfrac{a}2
5) Enfin, puisque nVar(X_1)/n² tend vers 0 i existe N_1 tq si n>N_1, \dfrac{Var(X_1)}{n} < \dfrac{a}2
6) Retour au 1) avec un n>\max(K,N_0,N_1). On a montré que pour tout a, il existe un rang à partir duquel la probabilité est \leqslant a, ce qui ressemble furieusement à la définiton d'une convergence de suite vers 0

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 03-12-20 à 20:50

Je comprends, il y a plein d'étapes intermédiaires !!! Merci beaucoup !!

Comment est-ce que vous avez pensé à faire tout ça ? Pour comprendre le cheminement, ça m'aidera peut être pour d'autres exercices

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 04-12-20 à 00:06

Pour le premier exercice, c'est toi qui as trouvé l'idée, je t'ai juste rappelé l'inégalité de Holder
Pour le second, c'est en gros le seul truc que tu puisses faire au niveau L3. Pour majorer des sommes, rien de tel que d'avoir un majoration du terme général. A défaut, on utilise des propriétés de convergence pour couper vos sommes en deux. Ca marche aussi avec les intégrales, très classique en analyse fonctionnelle.
C'est comme une gymnastique, tu apprendras à construire des preuves sur le tas avec le temps

Posté par
MatheuxAnonymre : Loi faible des grands nombres 04-12-20 à 10:26

D'accord je vois, je vais m'exercer et au fur et à mesure j'y arriverai mieux, merci beaucoup pour cette précieuse aide !

Posté par
Ulmierere : Loi faible des grands nombres 04-12-20 à 11:19


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