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loi mutinomiale

Posté par
romu 25-05-08 à 18:14

Bonsoir,

je galère sur le début de cet exercice:

Citation :
Une expérience aléatoire peut avoir m résultats possibles r_1,...,r_m chacun ayant une probabilité p_k>0 d'advenir.

On effectue n expériences indépendantes de ce type. Pour 1\leq i \leq n et 1\leq k \leq m, on définit les variables X_{i,k} telles que X_{i,k} vaut 1 si le résultat de la i^{eme} expérience est r_k et 0 sinon.

1. Déterminer la loi de X_{i,k} ainsi que la loi des couples (X_{i,k},X_{i,l}) pour k\neq l.

2. On définit les variables N_{n,k}=X_{1,k}+...+X_{n,k}.

(a) Que représente N_{n,k} ?

(b) Quelle est la loi de N_{n,k}?

(c) Déterminer le vecteur espérance et la matrice de covariance du vecteur 3$N_n=\ ^t(N_{n,1},...,N_{n,m}). Les variables N_{n,k} sont-elles indépendantes?

(d) Déterminer la loi de N_n. Cette loi a pour nom loi multinomiale de paramètres n, p_1,...,p_m et est notée \mathcal{M}(n;p_1,...,p_m).


Je bloque déjà au 1. pour la loi du couple (X_{i,k},X_{i,l}) pour k\neq l, je ne vois pas comment faire?

Merci pour votre aide.

Posté par
romure : loi mutinomiale 25-05-08 à 20:05

Je fixe k,l deux entiers distincts compris entre 1 et m.

Je pose Z_{i,(k,l)}\ := (X_{i,k},X_{i,l}).
Pour déterminer la loi de Z_{i,(k,l)} il faut que je détermine les valeurs des quatre cases au centre du tableau suivant, c'est ce qui me pose problème

4$\array{.c.c.c.c.5BCCC$\hdash~\ & X_{i,l}=0 & X_{i,l}=1 & \\ \hdash X_{i,k}=0 & \mathbb{P}(X_{i,k}=0 \mbox{ et } X_{i,l}=0) & \mathbb{P}(X_{i,k}=0 \mbox{ et } X_{i,l}=1) &\mathbb{P}(X_{i,k}=0)=1-p_k \\ \\ \hdash X_{i,k}=1 & \mathbb{P}(X_{i,k}=1 \mbox{ et } X_{i,l}=0) & \mathbb{P}(X_{i,k}=1 \mbox{ et } X_{i,l}=1) &\mathbb{P}(X_{i,k}=1)=p_k \\ \\ \hdash~\ & \mathbb{P}(X_{i,l}=0)=1-p_l & \mathbb{P}(X_{i,l}=1)=p_l & \\ \hdash~}

Posté par
romure : loi mutinomiale 25-05-08 à 20:19

j'ai oublié de dire ce que j'avais fait juste avant

On a une v.a. Y : (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \rightarrow \mathbb{R} telle que Y(\Omega)=\{r_1,...,r_m\} et \mathbb{P}(Y=r_k)=p_k.

Pour tout i\in \{1,...,n\}, on pose Y_i:=Y, Y_1,...,Y_n sont i.i.d. .

Soient i\in \{1,...,n\}, k\in \{1,..,m\}.

On a l'équivalence X_{i,k}=1 \Longleftrightarrow Y_i=r_k

d'où \mathbb{P}(X_{i,k}=1)=\mathbb{P}(Y_i=r_k)=p_k\

donc P_{X_{i,k}}=p_k\delta_1+(1-p_k)\delta_0.

Posté par
PILre : loi mutinomiale 25-05-08 à 22:23

Salut romu,

Je commence par le plus simple (Xik=1 et Xil=1) = 0 car il est impossible que la ième expérience donne deux résultats distincts !
P(Xik=1 et Xil=0) = pk car si le résultat est rk, il ne peut pas être rl; idem P(Xik=0 et Xil=1) = pl et pour finir, P(Xik=0 et Xil=0) = 1-pk-pl, c'est la probabilité que le résultat ne soit ni rk, ni rl.

Posté par
PILre : loi mutinomiale 25-05-08 à 22:25

Bizarre mon premier P ...

Posté par
romure : loi mutinomiale 25-05-08 à 22:51

oui j'aurai dû y penser

merci IL

Posté par
romure : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:16

ok donc

4$P_{Z_{i,(k,l)}}=(1-(p_k+p_l))\delta_{(0,0)}+p_k\delta_{(1,0)}+p_l\delta_{(0,1)}.

Pour la 2 (a) je pense que N_{n,k} donne le nombre de fois sur les n expériences i.i.d. où le résultat est r_k.

Pour déterminer la loi de N_{n,k} que pour tout n\geq 1, X_{1,k},...,X_{n,k} sont indépendants sachant par hypothèse que Y_1,...,Y_n sont indépendants,
là j'ai du mal à voir comment faire

Posté par
romure : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:29

Citation :
On effectue n expériences indépendantes de ce type.


Bon ça devait être dit dans l'énoncé que X_{1,k},...,X_{n,k} sont i.i.d..

Donc la loi de N_{n,k} est clairement la loi binomiale \mathcal{B}(n,p_k).

Posté par
PILre : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:34

Je suis d'accord avec ton interprétation de Nn,k.
Mais alors, n'est-on pas simplement en présence d'une loi binomiale ? A chaque expérience, rk se produit (succès) ou pas; on compte le nombre de succès en n expériences, c'est la loi binomiale de paramètres n et pk.

Posté par
PILre : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:35

Comme tu dis...

Posté par
romure : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:39

ok donc \mathbb{E}(N_n)=n\ ^t(p_1,...,p_m), je calcule la matrice de covariance.

Posté par
romure : loi mutinomiale 26-05-08 à 00:56

Donc

\mathbb{V}(N_n)=[\textrm{cov}(N_{n,i},N_{n,j})]_{1\leq j \leq m}.

Si i=j, \textrm{cov}(N_{n,i},N_{n,j})=\mathbb{V}(N_{n,i})=np_i(1-p_i).

Si i\neq j, \textrm{cov}(N_{n,i},N_{n,j})=\mathbb{E}(N_{n,i}N_{n,j})-\mathbb{E}(N_{n,i})\mathbb{E}(N_{n,j}) = \mathbb{E}(N_{n,i}N_{n,j}) - n^2p_ip_j

Comment je peux calculer \mathbb{E}(N_{n,i}N_{n,j})?


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