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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
loi normale centrée réduite
Posté par bruno444
Bonjour,
Ma question est la suivante :
Soit Z une variable aléatoire suivant une loi Normale . (loi normale centrée réduite)
Déterminer la densité de probabilité de
.
la densité de probabilité de Z est
Dois-je calculer ou est-ce qu'il faut faire autre chose?
Cordialement
Bonjour bruno444, malheureusement les choses ne sont pas aussi simples 
La preuve étant que si on élève la densité au carré, on obtient pas une densité à l'arrivée (je te laisse calculer l'intégrale sur R). Il y a d'autres arguments bien sûr.
Tu peux utiliser l'astuce de la fonction test, tu calcules
pour toute fonction mesurable positive bornée (par exemple) et tu te ramènes à une intégrale de la forme
Dans ce cas, g serait la densité cherchée.
Bonsoir,
de façon plus élémentaire on peut déterminer la fonction de répartition de
En notant la fonction de répartition de la loi
on a
Il ne plus qu'a dériver cette fonction.
Merci Rintaro
Malheureusement ta réponse est un peu complexe pour moi
Merci verdurin
J'ai essayé de dériver la fonction indiquée :
donc
salut
une petite remarque :
bruno444 @ 24-08-2023 à 06:55
Soit Z une variable aléatoire suivant une la loi Normale)
. (loi normale centrée réduite)
car la loi normale centrée réduite est unique ...
Soit Z une variable aléatoire suivant une la loi Normale
Ok carpediem
verdurin @ 24-08-2023 à 10:22
=\begin{cases} 0&\text{si } t<0\\2\Pi(\sqrt{t})-1&\text{si } t\geqslant0\end{cases})
Je ne sais pas comment on trouve cette formule.
Du coup, je ne sais pas comment faire la question b) de mon exercice :
En déduire que la loi de
(loi gamma standard étudiée dans les questions précédentes de l'exercice)
Bonjour bruno444, pas de problème pour ma solution, peux-tu me dire quel est ton niveau (L2 ou L3) afin de répondre en adéquation avec tes connaissances à l'avenir stp ?
En attendant le retour de verdurin à qui je laisse la main par la suite : pour trouver cette formule, il faut exploiter que la loi normale centrée réduite est symétrique (X et -X ont même loi), ou encore que la densité de cette loi est paire. En particulier, avec les notations déjà employées : 
(t) = 1 - (-t).
Je te laisse continuer
Par ailleurs : il est recommandé d'écrire l'entièreté de l'exercice depuis le départ plutôt que de l'écrire petit à petit.
Bonne journée.