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lois usuelles finies

Posté par
anyone 08-05-08 à 14:15

bonjour, j'ai un exercice sur les lois usuelles finies et je suis complétement paumé .. pouvez vous m'aider svp ??


on considère un jeu comprenant n numéros (numérotés de 1 à n) dont p numéros gagnats choisis à l'avance, connus du meneur de jeu seulement. on suppose que n et p sont des entiers naturels non nuls et pn/3

dans la 1ere phase du jeu, le joueur tire au hasard, successivement et de façon indépendante, p numéros différents parmi les n. le meneur de jeu dévoile alors p numéros perdants parmi les n-p non tirés.
dans la 2e phase, le joueur a le choix entre :
- la stratégie A : garder les numéros qu'il a tirés
- la stratégie B : échanger les p numéros contre p nouveaux numéros tirés au hasard parmi les n-2p

1. on suppose que n=3 et p=1. calculer la probabilité d'obtenir le numéro gagnant avec la stratégie A puis avec la B
2. pour 1ip, on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si le i-ème numéro tiré dans la 1ere phase est gagnant, 0 sinon. on note X : variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants tirés dans la 1ere phase.
a. donner une relation entre X et X1,...,Xp
b. montrer que pour tout i de [|1,p|], P(Xi=1)=p/n (dénombrer les cas favorables et les cas possibles). en déduire que E(X)=p²/n
c. déterminer la loi de X. en déduire :
\sum_{k=0}^p \(p\\k\) \(n-p\\p-k\) = \(n\\p\)
\sum_{k=0}^p \(p\\k\) \(n-p\\p-k\) = \frac{p^2}{n} \(n\\p\)

3. on suppose que le joueur utilise la stratégie B
pour 1ip, on note Zi la variable aléatoire qui vaut 1 si le i-ème numéro tiré dans la 2e phase est gagnant, 0 sinon. on note Z : variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants tirés dans cette 2e phase.
a. pour tout k de [|0,p|] et i de [|1,p|], calculer la proba conditionnelle : P(Zi=1|X=k)
b. démontrer que pour tout i de [|1,p|] : P( Z_i = 1) = \frac{1}{(n-2p)\(n\\p\)} \sum_{k=0}^p (p-k)\(p\\k\) \(n-p\\p-k\)
c. en utilisant les formules de 2c, montrer que : E(Z) = \frac{p^2(n-p)}{n(n-2p)}
d. quelle est alors la stratégie à adopter ?

merci beaucoup ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 15:19

Bonjour,

Où en es-tu ?
Propose quelque chose pour les premières questions...

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:23

1.
Il y a donc 3 numéros possibles.
Le joueur en tire 1.
Le meneur identifie, parmi les 2 restants, un n° perdant.
Il reste un 3ème n°, gagnant ou perdant.

Stratégie A : le joueur garde son n°
P(1er n° gagnant SACHANT QUE 2ème n° perdant) = 1/2

Stratégie B : le joueur prend le 3ème n°
P(3ème n° gagnant SACHANT QUE 2ème n° perdant) = 1/2

Sauf erreur !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:24

2.a.
3$\fbox{X=X_1+....+X_p}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:28

2.b.

3$\fbox{\forall i\in|[1;p]|,\quad\mathbb{P}(X_i=1)=\frac{p}{n}}

Donc :
3$\forall i\in|[1;p]|,\quad\mathbb{E}(X_i)=0\times\left(1-\frac{p}{n}\right)+1\times\frac{p}{n}=\frac{p}{n}

De plus :
3$X=X_1+....+X_p
On prend l'espérance, que l'on sait linéaire :
3$\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X_1)+....+\mathbb{E}(X_p)
3$\mathbb{E}(X)=\frac{p}{n}+....+\frac{p}{n}
3$\fbox{\mathbb{E}(X)=\frac{p^2}{n}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:35

2.c.
Soit 3$0\le k\le p

3$\mathbb{P}(X=k)=?

Pour être dans cette situation, il faut que le joueur ait tiré p numéros, dont :
(i) k appartiennent aux p gagnants,
(ii) p-k appartiennent aux n-p perdants.

Cas favorables : 3${p\choose k}{n-p\choose p-k}
Cas défavorables : 3${n\choose p}

3$\fbox{\forall k\in|[0;p]|,\quad \mathbb{P}(X=k)=\frac{{p\choose k}{n-p\choose p-k}}{{n\choose p}}}

C'est la loi de probabilité de 3$X.

On sait que la somme des probabilités vaut 1 :
3$\Bigsum_{0\le k\le p}\frac{{p\choose k}{n-p\choose p-k}}{{n\choose p}}=1
3$\fbox{\Bigsum_{0\le k\le p}{p\choose k}{n-p\choose p-k}={n\choose p}}

On a vu dans une question précédente que l'espérance est 3$\frac{p^2}{n} :
3$\Bigsum_{0\le k\le p}k\frac{{p\choose k}{n-p\choose p-k}}{{n\choose p}}=\frac{p^2}{n}
3$\fbox{\Bigsum_{0\le k\le p}k{p\choose k}{n-p\choose p-k}=\frac{p^2}{n}{n\choose p}}
et non pas ce que tu écris dans l'énoncé !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:50

3.a.
3$\mathbb{P}\left(^{Z_i=1}/_{X=k}\right)=?
Pendant la 2ème phase, si X=k, parmi les n-2p restants, on a :
(i) p-k numéros gagnants,
(ii) (n-2p)-(p-k) numéros perdants.
Donc :
3$\fbox{\forall k\in|[0;p]|,\quad \forall i\in|[1;p]|,\quad \mathbb{P}\left(^{Z_i=1}/_{X=k}\right)=\frac{p-k}{n-2p}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 16:56

3.b.
Soit i dans |[1;p]|
3$\mathbb{P}\left(Z_i=1\right)=\Bigsum_{0\le k\le p}\mathbb{P}\left(^{Z_i=1}/_{X=k}\right)\cdot\mathbb{P}(X=k)
3$\mathbb{P}\left(Z_i=1\right)=\Bigsum_{0\le k\le p}\frac{p-k}{n-2p}\times\frac{{p\choose k}{n-p\choose p-k}}{{n\choose p}}

3$\fbox{\forall i\in|[1;p]|,\quad \mathbb{P}\left(Z_i=1\right)=\frac{1}{(n-2p){n\choose p}}\Bigsum_{0\le k\le p}(p-k){p\choose k}{n-p\choose p-k}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : lois usuelles finies 08-05-08 à 17:06

3.c.
3$\mathbb{E}\left(Z_i\right) = 1\cdot\mathbb{P}\left(Z_i=1\right)+0\cdot\mathbb{P}\left(Z_i=0\right)

3$\mathbb{E}\left(Z_i\right)=\frac{1}{(n-2p){n\choose p}}\Bigsum_{0\le k\le p}(p-k){p\choose k}{n-p\choose p-k}

3$\mathbb{E}\left(Z_i\right)=\frac{1}{(n-2p){n\choose p}}\left\{ p\Bigsum_{0\le k\le p}{p\choose k}{n-p\choose p-k} - \Bigsum_{0\le k\le p}k{p\choose k}{n-p\choose p-k}\right\}

3$\mathbb{E}\left(Z_i\right)=\frac{1}{(n-2p){n\choose p}}\left\{ p{n\choose p} - \frac{p^2}{n}{n\choose p}\right\}

3$\mathbb{E}\left(Z_i\right)=\frac{p(n-p)}{n(n-2p)}

Puis :
3$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}\left(Z_1+...+Z_p\right)

3$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}\left(Z_1\right)+...+\mathbb{E}\left(Z_p\right)
\\ 3$\fbox{\mathbb{E}(Z) = \frac{p^2(n-p)}{n(n-2p)}}

Posté par
anyonere : lois usuelles finies 08-05-08 à 21:52

merci beaucoup ! je vais continuer de chercher pour pouvoir comparer mes résultats aux votres !


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