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Longueur de courbes polaires

Posté par
matheux14 29-11-21 à 19:45

Bonsoir,

Merci d'avance.

Calculer la longueur et la courbure de chacune des courbes polaires suivantes (on pourra évidemement donner une allure de chacune de ces courbes) :

1) \rho = \sqrt{\cos (2 \theta)}

2) \rho = 3\theta

3) \rho = \cos^3 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)

4) \rho = \tan h \left(\dfrac{\theta}{2}\right)

1) Le support \Gamma est donné par \rho = f(\theta)=\sqrt{\cos (2 \theta)}

f est de classe C1 sur [-\pi ; \pi].

*Dans le repère polaire (O , \vec{u}_r ; \vec{u}_o) ; ona \vec{F}(\theta)=f(\theta)=\rho \vec{u}_r et \vec{F}'(\theta)=f'(\theta) \vec{u}_r + f(\theta)\vec{u}_o = \dfrac{d\rho}{d \theta}+\rho= -\dfrac{\sin (2\theta)}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}+\sqrt{\cos (2 \theta)}=\dfrac{\cos (2\theta)-\sin (2\theta)}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}

*||\vec{F}'(\theta)||=\sqrt{[f'(\theta)]² + [f(\theta)]²}=\sqrt{\dfrac{\sin² (2\theta)}{\cos (2 \theta)}+\cos (2 \theta)}=\dfrac{\sqrt{\cos (2 \theta)}}{\cos (2 \theta)}

* L(\Gamma) =\int^{2\pi}_{0} \dfrac{\sqrt{\cos (2 \theta)}}{\cos (2 \theta)} d \theta

J'essaie de trouver une primitive de \dfrac{\sqrt{\cos (2 \theta)}}{\cos (2 \theta)} d \theta mais je bloque..

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 21:20

Bonsoir,
pour la question 1 la fonction est -périodique.
Et elle n'est pas définie sur [- ; ] mais sur des morceaux de cet intervalle.
On peut, à démontrer, l'étudier sur [-/4 ; /4].

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 21:47

Une remarque supplémentaire.
J'ai essayé de calculer l'intégrale sans réussir.
D'après Wolfram il faut utiliser des fonctions spéciales.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 21:51

Ok mais comment démontrer que la fonction est définie sur [-/4 ; /4] ?

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 22:04

On remarque d'abord que \cos(2\theta) est de période \pi.
On va donc étudier la fonction sur un intervalle de longueur \pi.

Ensuite \sqrt{\cos(2\theta)} n'est défini que si \cos(2\theta)\geqslant 0.

En prenant comme intervalle de base \bigl]-\frac\pi2\;;\;\frac\pi2\bigr] on voit que \rho est défini ssi \theta\in\bigl[-\frac\pi4\;;\;\frac\pi4\bigr].

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 22:20

verdurin @ 29-11-2021 à 21:47

Une remarque supplémentaire.
J'ai essayé de calculer l'intégrale sans réussir.
D'après Wolfram il faut utiliser des fonctions spéciales.


C'est quoi ce F(x | 2) ?

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 29-11-21 à 23:41

Bonsoir à vous deux,

il y a une erreur dans ta réduction au même dénominateur, mais ça ne change rien à ce qu'a dit verdurin

||\vec{F}'(\theta)||=\sqrt{[f'(\theta)]² + [f(\theta)]²}=\sqrt{\dfrac{\sin² (2\theta)}{\cos (2 \theta)}+\cos (2 \theta)}=\dfrac{\sqrt{\cos (2 \theta)}}{\cos (2 \theta)}

on obtient une intégrale elliptique de 1ère espèce, à calculer

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 10:35

D'accord mais comment calculer la moyenne arithmético-géométrique ?

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 14:49

matheux14 @ 30-11-2021 à 10:35

D'accord mais comment calculer la moyenne arithmético-géométrique ?
que veux-tu dire?

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 17:21

Salut à tous.

@Pirho.
Je pense que matheux14 est allé lire ceci ce que je trouve très bien.

@matheux14
Je ne pense pas que l'on te demande de faire le calcul.
Au plus de dire : « un logiciel de calcul donne environ 2,622 comme valeur approchée de l'intégrale ».

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 17:44

Pour voir la courbe en question qui est une lemniscate de Bernoulli, on peut regarder sur mathcurve.com

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 17:53

@verdurin les intégrales elliptiques sont vues en prépa

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 18:05

Je ne savais pas, en fait j'ai juste regardé le programme de MPSI.

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 20:19

Pirho @ 30-11-2021 à 17:53

@verdurin désolé; j'ai mal rédigé le texte de ma réponse; en fait, je me demandais si les intégrales elliptiques étaient vues en prépa

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 20:22

Pirho @ 30-11-2021 à 17:53

@verdurin les intégrales elliptiques sont vues en prépa


Les règles de Bioche ?

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 20:38

non, ça n'a rien à voir

Posté par
malou Webmasterre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 21:07

verdurin @ 30-11-2021 à 18:05

Je ne savais pas, en fait j'ai juste regardé le programme de MPSI.


Bonjour à tous
à savoir, nombreux sont les demandeurs qui n'étudient ni en France ni sur un programme français

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 21:24

Je répondrais demain, quand je serais plus calme.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 21:47

Citation :
il y a une erreur dans ta réduction au même dénominateur

Je ne vois pas l'erreur..

Les intégrales elliptiques de 1ère espèce sont de la forme : \Large{\int \dfrac{dt}{\sqrt{1-t²} \sqrt{1-k²t²}} dt}

\Large{\int \dfrac{ d\theta}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}=\int \dfrac{ d\theta}{\sqrt{\cos² (\theta)-\sin² (\theta)}}=\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{1-2\sin²(\theta)}}}=\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{1-(\sqrt{2})²\sin²(\theta)}}}

Mais il manque \sqrt{1-\sin²(\theta)} pour qu'on ait une intégrales elliptique de première espèce.

Posté par
verdurinre : Longueur de courbes polaires 30-11-21 à 22:24

Pirho dit un peu n'importe quoi.

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 09:50

verdurin @ 30-11-2021 à 22:24

Pirho dit un peu n'importe quoi.


peut-être, mais voilà ce que donne Wolfram

sauf erreur de ma part,  en posant \sqrt{2}\,sin(\theta)=t, on retombe bien sur la forme d'une intégrale elliptique

@Matheux14 :effectivement il n'y a pas d' erreur dans ta réduction au même dénominateur,  mais moi j'aurais plutôt écrit

....=\sqrt{\dfrac{sin^2(2\theta)+cos^2(2\theta)}{cos(2\theta)}}}=\dfrac{1}{\sqrt{cos(2\theta)}}

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 11:29

Ok mais comment çà se calcule ?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 18:48

\Large{\int \dfrac{ d\theta}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}=\int \dfrac{ d\theta}{\sqrt{\cos² (\theta)-\sin² (\theta)}}=\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{1-2\sin²(\theta)}}}=\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{1-(\sqrt{2})²\sin²(\theta)}}}

Posons t = \sqrt{2}\sin(\theta)

\Large{\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}=\int \dfrac{dt}{\sqrt{(1-t)(1+t)}}}

En posant t = x² on a :

\Large{\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}=\int \dfrac{dx}{\sqrt{(1-x²)(1+x²)}}} qui semble être une intégrale elliptique de première espèce.

Mais le problème c'est que \theta \in ]-\dfrac{\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2}[ \Rightarrow \sin(\theta) \in ]-1 ; 1[ \Rightarrow \sqrt{2}\sin(\theta) = t \in ]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[ .

Donc t peut être négatif..

Du coup notre intégrale est une intégrale elliptique de première espèce pour tout t de ]0 ; \sqrt{2}[

\forall x \in ]0 ; \sqrt{\sqrt{2}}[ ; \Large{\int \dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos (2 \theta)}}=\int \dfrac{dx}{\sqrt{(1-x²)(1+x²)}}= \int \dfrac{\pi/2}{agm(0 ; 1)}}

Mais comment trouver agm(0 ; 1) ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 19:41

Bonjour,
En attendant le retour de verdurin et Pirho

Ta dernière ligne est fausse. La moyenne arithmético-géométrique de 1 et 0 , c'est 0...

Comme on te l'a déjà dit il n'est pas possible d'exprimer cette intégrale au moyen des fonctions usuelles de l'analyse.

Tout ce que tu peux faire c'est en donner une valeur approchée.

Le 1/4 de la longueur de cette lemniscate est égal à

\begin {aligned}\int_0^{\pi/4} \dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos(2\theta)}} =\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^4}}= \dfrac{\pi}{2 M(1, \sqrt{2})}\approx 1,31103\end{aligned}

où  M(1, \sqrt{2})\approx 1,19814, (moyenne arithmético-géométrique entre 1 et \sqrt{2})

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 19:48

D'accord mais j'ai pas bien comment

Citation :
Le 1/4 de la longueur de cette lemniscate est égal à

\begin {aligned}\int_0^{\pi/4} \dfrac{d\theta}{\sqrt{\cos(2\theta)}} ={\red{\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^4}}}= \dfrac{\pi}{2 M(1, \sqrt{2})}\approx 1,31103\end{aligned}

où  M(1, \sqrt{2})\approx 1,19814, (moyenne arithmético-géométrique entre 1 et \sqrt{2})

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 19:49

J'ai pas bien compris la zone en rouge.

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 21:06

La zone en rouge je ne l'ai pas inventée. Je suis allé voir là , paragraphe "Propiétés -Longueur" .

Quant à l'intégrale en rouge, c'est, sous une autre  forme ce que tu avais toi-même écrit  puisque


\sqrt{(1+x^2)(1-x^2)}= \sqrt{1-x^4}

Je ne peux pas t'en dire plus, désolé.

Tu devrais passer aux exercices suivants (en ouvrant un nouveau fil)

Posté par
Pirhore : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 21:39

merci à larrech d'avoir pris le relais.

Je ne pourrais pas en dire plus que lui.

Effectivement passe aux questions suivantes.

Je me pose quand même une question, peut-être indiscrète: le prof ne vous avait pas "tuyauté" pour résoudre cette intégrale?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 01-12-21 à 21:44

Citation :
Je me pose quand même une question, peut-être indiscrète: le prof ne vous avait pas "tuyauté" pour résoudre cette intégrale?


Non..

Je vais poster ce que j'ai fait pour les questions suivantes..

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 01:15

* Calcul de la courbure

La courbure \gamma = \dfrac{d\alpha}{ds}=||\vec{F}'(t)||=\dfrac{1}{\sqrt{\cos(2\theta)}}

Avec \alpha = \theta +V

Et on pose \begin{cases} \cos (V) = -\sin(2\theta) \\ \sin (V)=\cos(2\theta) \end{cases}

(J'avoue que j'ai pas vraiment compris pourquoi est-ce qu'on pose tout cela..)

On en déduit que V= \dfrac{\pi}{2}+2\theta \Rightarrow \alpha =  \dfrac{\pi}{2}+3\theta

\gamma = \dfrac{d\alpha}{ds}=\dfrac{d\alpha}{ds}*\dfrac{ds}{d\theta}=3\sqrt{\cos(2\theta)}

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 15:15

Bonjour,

Ton résultat est correct.

Citation :
(J'avoue que j'ai pas vraiment compris pourquoi est-ce qu'on pose tout cela..)


On ne "pose" pas comme ça, arbitrairement.

M étant le point courant de la courbe, on désigne par V l'angle entre \vec{OM} et \vec{T}, vecteur tangent.

Dans le repère (\vec{u_r},  \vec{u_\theta}), le vecteur unitaire tangent \vec t au point courant M, est donc (\cos V, \sin V)

Mais on a démontré dans le cours qu'on a aussi \vec t= (\dfrac{r'_\theta}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}, \dfrac{r'}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}})

Dans le cas particulier de la courbe donnée ici, en égalant les composantes, cela conduit à

\begin{cases} \cos (V) = -\sin(2\theta) \\ \sin (V)=\cos(2\theta) \end{cases}

Or,  -\sin(2\theta) =cos(\pi/2+2\theta) et  \cos(2\theta) =sin(\pi/2+2\theta)

d'où la suite

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 16:18

Correctif

Mais on a démontré dans le cours qu'on a aussi \vec t= (\dfrac{r'_\theta}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}, \dfrac{r}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}})

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 19:21

On a démontré la formule pour le vecteur tangent au point M.

Comment avez fait pour démontrer la formule du vecteur unitaire tangent au point M ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 19:25

J'ai normé le vecteur (r'_\theta, r) tout simplement.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 20:36

D'accord.

Citation :
Dans le cas particulier de la courbe donnée ici, en égalant les composantes, cela conduit à

\begin{cases} \cos (V) = -\sin(2\theta) \\ \sin (V)=\cos(2\theta) \end{cases}


En égalant les composantes de \vec t ?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 20:47

\begin{cases} \cos (V) =\dfrac{r'_\theta}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}  \\ \sin (V)=\dfrac{r'}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}} \end{cases}

Comme çà ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 21:04

Oui.

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 21:07

Attention, j'avais fait une faute de frappe tout à l'heure , et là j'ai répondu trop vite , c'est

\begin{cases} \cos (V) =\dfrac{r'_\theta}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}  \\ \sin (V)=\dfrac{{\red{r}}}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}} \end{cases}

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 21:47

Du coup \begin{cases}\dfrac{r'_\theta}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}=-\sin(2\theta)  \\ \dfrac{r}{\sqrt{r^2+r'^2_\theta}}=\cos(2\theta) \end{cases} ?

Ce qui me semble un peu bizzare quand-même..

Posté par
larrechre : Longueur de courbes polaires 02-12-21 à 21:54

Pourquoi bizarre? Dans le cas de cette courbe, c'est bien ça, oui. Tu as fait le calcul ?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 06:44

Oui et j'ai pas le même résultat..

Je vais vérifier mes calculs.


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