Niveau Maths sup

majorants, supréments

Posté par mika9899 (invité) 07-10-05 à 19:02

Bonjours à tous,

Voici un problème dont je ne trouve pas de solutions,

Soit x1 [0,2]. On définit les réels x(n+1)=(2+x(n)) n1, et E={x(n)|n=1,2,..}.

1.) Vérifier que la suite x(n)x(n+1) et démontrer par induction que l'ensemble E est borné supérieurement.

Ici je trouve une contradiction et donc la suite ne serait pas croissante

2.) L'ensemble E possède-t-il un maximum, minimum? si oui, le(s) le(s)quel(s)?
3.) Démontrer par l'absurde qu'un majorant M de E satisfait M .

merci d'avance

Posté par re:majorants, supréments 07-10-05 à 19:48

Bonjour mika9899;
1) (*)tu peux commencer par montrer (par récurrence) que $3$\fbox{\forall n\ge1\\x_n\in[0,2]}$
et puis vérifier que $3$\fbox{\forall n\ge1\\x_{n+1}^2-x_{n}^2=(2-x_n)(1+x_n)}$ d'où la stricte croissance de la suite $(x_n)_{n\ge1}$
$E$ est borné supérieurement par $2$ .
2) Du fait de la stricte croissance de la suite $(x_n)_{n\ge1}$ $E$ n'a pas de maximum et son minimum est $x_1$ .
3) si $M$ est un majorant de $E$ alors on doit avoir $M\ge2$
sinon on aurait que $3$\fbox{\forall n\ge1\\x_n\le M<2}$ et donc que $3$\fbox{\forall n\ge1\\x_{n+1}^2-x_{n}^2=(2-x_n)(1+x_n)\ge2-M}$ et donc que
$3$\fbox{\forall n\ge2\\x_n^2-x_{1}^2=\Bigsum_{k=1}^{n-1}x_{k+1}^2-x_{k}^2\ge(2-M)(n-1)}$ et vu que $3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}(2-M)(n-1)=+\infty}$ ceci donnerait que $E$ n'est pas borné supérieurement ce qui est absurde.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par mika9899 (invité)re : majorants, supréments 07-10-05 à 20:17

elhor_abdelali,

je te remercie pour ta réponse, mais je n'y arrive pas

déjà pour montrer la récurrence puis qu'on ne connaît pas x_n

ensuite je ne comprends pas ta ligne: x(n+1)²-x(n)²=....

Posté par re:majorants, supréments 07-10-05 à 23:51

mika9899,
(*)Pour la récurrence c'est déjà vrai pour $n=1$ puisque par hypothèse $x_1\in[0,2]$ et puis si on suppose $x_n\in[0,2]$ on va avoir $x_n+2\in[2,4]$ et donc $x_{n+1}=sqrt{x_n+2}\in[sqrt2,2]\subset[0,2]$ c'est à dire qu'on a bien:
$x_n\in[0,2]\Longrightarrow x_{n+1}\in[0,2]$ .
(*)D'autre part tu as bien que:
$x_{n+1}^2-x_n^2=x_n+2-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)\ge0$ puisque $x_n\in[0,2]$ donc $x_{n+1}^2\ge x_n^2$ et donc que $x_{n+1}\ge x_n$ .
le fait que $E$ est borné supérieurement par $2$ est clair vu que $\fbox{\forall n\ge1\\x_n\le2}$ .
(*)Il est facile de voir que si $x_1=2$ la suite $(x_n)_{n\ge1}$ est constane de valeur $2$ et dans ce cas $E=\{2\}$ donc admet un maximum et un minimum valant $2$ .
(*)Si $x_1\in[0,2[$ il en sera de mm pour tous les $x_n$ (récurrence similaire à celle du début de ce post) et dans ce cas la suite $(x_n)_{n\ge1}$ est strictement croissante puisque $x_{n+1}^2-x_n^2=x_n+2-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)>0$ et donc que $x_{n+1}>x_n$ et $E$ serait un ensemble infini sans plus grand élément (maximum) et dont le plus petit élément (minimum) est $x_1$ puisque $x_1<x_2<..<x_n<x_{n+1}<..<2$

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