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Majoration et fourier

Posté par
Vantin 17-12-22 à 20:31

Bonjour je faisais un sujet d'annale, serait t-il possible de me relire (surtout la question 1) et de m'aider à répondre à la question 6, je ne vois pas mon erreur ?


Soit f : \R \to \R  \mbox{ tel que } f(x)= e^{-2\pi\lvert x\rvert}

1)Donner la définition de M(\R) et montrer que f \in M(\R).
2) Montrer que f \in S(\R)
3) Donner \hat{f(\xi)}
4) Montrer que e^{-2\pi\lvert x\rvert}  = \frac{2}{\pi} \cdot \int_0^\infty \frac{\cos(2\pi\xi x}{1+\xi^2} d\xi
5) Calculer \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2+1)^2} dx
6) Montrer que \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}=\pi \frac{1+e^{-2\pi}}{1-e^{2\pi}}

1) Il s'agit de l'ensemble de fonction continues et à décroissance modérée.

La décroissance modérée signifie qu'il existe une constante réelle positive A telle que \forall x \in \R on a \lvert f(x)\rvert \leq \frac{A}{1+x^2} \Leftrightarrow  \sup_{x\in \R}  \{\lvert f(x)\rvert(1+x^2) \} < \infty (le sup est borné)

Méthode 1:

1+ x^2 \leq \1+2\pi^2 x^2  \leq 1+2\pi\lvert x\rvert+ 2\pi^2 x^2 \leq e^{2\pi\lvert x\rvert} \Rightarrow \frac{1}{1+x^2} \geq e^{-2\pi\lvert x\rvert}

Méthode 2:

\lim_{x\to \pm \infty} f(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x\to \pm \infty} g(x):= (1+x^2)f(x) = 0. Soit  \epsilon_1 >0 et \epsilon_2 >0.

\exists A >0, \forall x \in \R (  x> A \Rightarrow \lvert g(x) \rvert <\epsilon_1 )

\exists B >0, \forall x \in \R (  x< -B \Rightarrow \lvert g(x) \rvert <\epsilon_2 )

Si x \in [-B,A], f est continue donc elle est bornée sur [-B,A]
On pose M:= max( \lvert max\{f(x), x \in [-B,A]\} \rvert , \lvert min\{f(x), x \in [-B,A]\} \rvert )

On pose N:= max(\epsilon_1,\epsilon_2,M)

Donc g est globalement bornée: -N\leq g(x)\leq N

2) Il suffit de faire une récurrence bien choisi

3) \mathcal{F}(f) (\xi) =  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi\lvert x\rvert}  \cdot e^{2\pi i x \xi} dx =\int_{-\infty}^{0} e^{2\pi x(1+i\xi}   dx +\int_{0}^{\infty} e^{-2\pi x(1-i\xi)}  dx = \frac{1} {2\pi^(1+i\xi)} + \frac{1}{2\pi(1-i\xi)} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2}

4) e^{-2\pi\lvert x\rvert}  = \mathcal{F}(\mathcal{F}^\times(f) )(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}  \left( \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+\xi^2}\right) \cdot e^{2\pi i x \xi} d\xi  =\int_{-\infty}^{\infty}  \left( \frac{1}{\pi} \cdot \frac{cos(2\pi x \xi )}{1+\xi^2}\right) d\xi  +\int_{-\infty}^{\infty}  \left( \frac{1}{\pi} \cdot \frac{i sin(2\pi x \xi )}{1+\xi^2}\right) d\xi
e^{-2\pi\lvert x\rvert}  =\frac{2}{\pi}  \int_{0}^{\infty} \left( \frac{cos(2\pi x \xi )}{1+\xi^2}\right) d\xi  

5) Formule de Plancherel: \lVert f \rVert = \lVert \hat{f} \rVert \Rightarrow  \lVert f \rVert^2 = \lVert \hat{f} \rVert ^2 .

\lVert f \rVert^2  = \int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-4\pi\lvert x\rvert} = \frac{1}{4\pi} + \frac{1}{4\pi}  = \frac{1}{2\pi}  

6) Formule de Poisson : \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(n)  

\frac{1}{\pi}\cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{n^2+1} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \lvert n \rvert }  =\sum_{n=-\infty}^{0} e^{2\pi  n }  + \sum_{n=0}^{\infty} e^{-2\pi  n }  =   2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (e^{-2\pi })^n  = \frac{2}{1-e^{-2\pi }}

Posté par
Dostore : Majoration et fourier 18-12-22 à 14:21

Bonjour,

Pour la question 6.  Attention, dans ta somme tu comptes 2 fois l'élément correspondant à n=0.

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \lvert n \rvert }=1 +\sum_{n=-\infty}^{-1} e^{2\pi n } +\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-2\pi n} = 1 + 2\cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (e^{-2\pi })^n =1 + \frac{2e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi }} =\frac{1+e^{-2\pi}}{1-e^{-2\pi }} =\coth(\pi)

Posté par
Dostore : Majoration et fourier 18-12-22 à 19:50

Pour la 1), c'est un DL que tu utilises dans ta méthode 1?

-Sinon, par une étude rapide de la fonction:

g(x)=(1+x^2)f(x)

on montre facilement que :

0 \leq(1+x^2)f(x)\leq 1[

Posté par
Vantinre : Majoration et fourier 18-12-22 à 21:27

Ah oui je me suis trompé sur l'indiçage merci!
Oui on aurait pu tracer le tableau de variation et voir que le sup est 1, c'est aussi possible.
Oui pour la méthode 1, la méthode 2 est un peu plus général mais je pense que c'était l'approche attendu
merci !

Posté par
Dostore : Majoration et fourier 18-12-22 à 22:21

Vantin @ 17-12-2022 à 20:31


1+2\pi\lvert x\rvert+ 2\pi^2 x^2 \leq e^{2\pi\lvert x\rvert}


Cette inégalité ne me semble pas triviale... Où est passé le reste de ton DL?
De plus le DL est une approximation locale,  donc selon moi, il ne convient pas pour minorer e^{2\pi\lvert x\rvert} ~\forall x \in \R
Je ne suis pas sûr à 100% mais il manque quelque chose pour moi....

Posté par
Vantinre : Majoration et fourier 20-12-22 à 08:47

C'est vrai qu'en regardant de plus près,
e^x <= 1+x+x^2/2 pour x positif et  1+x+x^2/2 <=e^x  pour x négatif
Mais du coup si on trace rapidement e^|x|, on va battre 1+x+x^2/2 peut importe le signe de x mais ce n'est plus la même preuve


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