Bonjour à tous !

  Pendant ces vacances dans l'objectif de mon passage en 1 S, je me suis un peu avancé dans le programme. Malheureusement (mais à juste titre je pense), certaines choses me paraissent difficiles à assimiler.
Dernière chose en dat : Les majoration et minorations de fonctions.

J'ai bien cherché à comprendre mais dans les bouquins dont je dispose, seules des définitions me sont présentées, définitions dont le sens m'échappe totalement. Je me suis dit alors qu'un exercice pourrait m'eclaircir mais là encore, je ne dispose que d'une correction finale sans "démonstration" si je puis dire.
Et c'est à ce niveau là que je vous demande d'intervenir, c'est à dire m'expliquer ces termes par le biais d'un exercice.


Pour mémoire :

Une fonction f est MAJOREE sur un intervalle I, si, et seulement si, il exste un réel M tel que :
   quel que soit x de I, on a f(x)M

Une fonction f est MINOREE sur un intervalle I, si, et seulement si, il existe un réel m tel que :
   quel que soit x de I, on a mf(x)

Une fonction f est BORNEE sur un intervalle I, si et seulement si, il existe dans réels M et m tels que :
   quel que soit x de I, on a  m f(x) M


Voici l'exercice :


a) F est définie sur par f(x) = 1/ 2+ x²

Montrez que la fonction f est bornée.

b) SOit g définie sur [1 ; -1 ] par g(x)= 1+ x²/ 2- x²

Encadrez le numérateur et le dénominateur.Déduisez-en un encadrement de g sur I.

*** message déplacé ***

Bonjour


Dire qu'une fonction est bornée signifie que tu peux "cadrer son graphe" (en haut et en bas par des droites)

Pour la question a), il te suffit de trouver deux constantes et telles que




On a d'abord

Pour tout x dans R



En passant à l'inverse : tu obtiens



Pour la deuxième inégalité :

Pour tout x dans R, tu as :



D'où finalement :



Voili voilà

Charly

*** message déplacé ***

Merci beaucoup !

Je comprends mieux mais j'ai encore quelques doutes. Vous n'auriez pas d'autres exercices de ce genre ?

*** message déplacé ***

bonjour ,
je vais d'abord te détailler tes définitions.
une majoration signifie:
si on représente la courbe représentative,
cette courbe "ne peut pas dépasser une certaine hauteur".
voilà un exemple:

donc ici, ta fonction admet une majoration.
remarque, cette majoration peut ne pas être définie:

Bonjour à tous

Voici une piste pour le premier :

On sait une propriété importante d'un carré , c'est qu'il est toujours positif.
C'est à dire que quelque soit x réel :

Qu'en est-il alors de x²+2 ? et finalement de 1/(x²+2) ? (attention aux changements d'odre)
On sait en outre que l'inverse d'un nombre strictement positif est positive. Quel est le signe de x²+2 ? que peux tu en conclure ?

Que viens tu alors de démontrer ?


Jord

est-ce que tu comprends, un peu mieux, ce que signifie une majoration?

pour la minoration, c'est la même chose, sauf que cela se trouve en-dessous

et pour le point de vue borné, en fait cela signifie majoré et minoré

pour ton exercice, je vais le voir un peu plus tard (sinon, mon rrepas va refroidir

J'ai compris le principe, mais pour retrouvez cette majoration par le calcul, il faut simplement établir un encadrement ?

Oui c'est cela Pop

Une fonction f est MAJOREE sur un intervalle I, si, et seulement si, il existe un réel M tel que :
quel que soit x de I, on a f(x) <= M

Explications par des exemples:

1)
f(x) = 1/x² pour x compris dans [1 ; 2]

Si tu traces le graphe représentant la fonction f pour x compris dans [1 ; 2], tu va trouver que la courbe ne va jamais au dessus de 1.

On dit alors que f est majorée par 1 sur l'intervalle [1 ; 2].

Cela veut dire que pour x compris dans [1 ; 2], f(x) est partout inférieur ou égal à 1 (donc à une valeur finie).

Il est donc possible de trouver un nombre plus grand (ou égal) que la plus grande valeur que peut prendre f(x) pour x dans [1 ; 2].
Dans ce cas, f est dite majorée sur [1 ; 2]

-----
2)
f(x) = 1/x² pour x compris dans ]0 ; 1]

Si on calcule la limite vers laquelle tend f(x) lorsque x tends vers 0+, on trouve +oo (plus l'infini)

Il n'est donc pas possible de trouver un nombre plus grand que la plus grande valeur que peut prendre f(x) pour x dans ]0 ; 1].
Dans ce cas, f est dite non majorée sur ]0 ; 1]
-----

Même concept pour minorée, mais avec des valeurs minima au lieu de maxima.
-----
Sauf distraction.  

Exactement : ton encadrement signifie que toutes les valeurs prises par ta fonction (c'est à dire f(x)) ne dépassent pas une certaine valeur

Voili voilà

Charly

Merci à tous , c'est vmt sympa de m'avoir éclairé.

En esperant que tu réussisses ton exo avec tout ça


Jord

Pour la question 2, je trouve :   (on considere g(x)=1+x²/2-x² sur [-1;1])

   Pour :   -L'encadrement du numérateur 11+x²2


            -L'encadrement du dénominateur 12-x²2

Pour l'instant pas de problème mais après je doute de ma méthode :

D'après l'encadrement du dénominateur on a : 1/2 1/ 2-x² 1

Pour retrouver g(x), je multiplie chaque terme de cette inéquation par son "équivalent" si je puis dire :

ce qui me donne 1/2 * 1 1/2-x² * 1 + x² 1 * 2


ce qui me donne :   1/2 g(x) 2




Est-ce bon ?
Merci d'avance.

Le résultat est correct mais c'est un hasard.

g(x) = (1+x²)/(2-x²)  avec x das [-1 ; 1]
g(x) = [3-(2-x²)]/(2-x²)
g(x) = 3/(2-x²) - 1

2-x² est minimum pour |x| = 1
--> g(max) = 3/(2-1) - 1 = 2

2-x² est maximum pour x² = 0
--> g(min) = (3/2) - 1 = 1/2

1/2 <= g(x) <= 2
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Sauf distraction.  

Ma méthode est dc bidon.

Existent-t-ils d'autres méthodes que celle énoncée par J-P ? Parce que j'avoue que je suis un peu perdu .

Encore merci .

Pour l'instant : les méthodes sont des manipulations pour pouvoir majorer ou minorer.

L'année prochaine tu vas apprendre à étudier les fonctions (dérivées, tableau de variation ...) Tu pourras savoir si une fonction est bornée.

Voili voila , en espérant avoir répondu à ta question

Charly