Bonjour à tous,
Voilà je suis classe préparatoire et je bloque sur une remarque de mon professeur sur mon cours.

Soit Un une suite à termes strictement positifs, tel que U(n+1) / U(n) = 1 - 1/n + O(1/n^alpha) avec alpha strictement supérieur à 1.
Il dit ensuite que la série de terme général ln(U(n+1) * (n+1)) - ln(U(n) * n) converge absolument elle est télescopique car en effet le terme général écrit plus haut peu de réécrire comme ln(U(n+1)/U(n)) + ln(1 + 1/n) = o(1/n^bêta) avec bêta = min(alpha,2) et bêta est donc strictement supérieur à 1.

On a alors que la série converge absolument par comparaison avec une série de Riemann. Ensuite comme la série est télescopique ça montre aussi que ln(U(n) * n) converge et donc qu?il existe une constante K strictement positives telle que U(n) est équivalent à K/n. Et il en conclue que la série de terme général diverge encore une fois par comparaison à une série de Riemann.

Là où je bloque c?est surtout sur le passage où il écrit que ln(U(n+1)/U(n)) + ln(1 + 1/n) = o(1/n^bêta) avec bêta = min(alpha,2). J?ai essayé plusieurs idées et donc je vois bien que les 1/n et -1/n vont s?annuler il y a un O(1/n^2) qui vient du deuxième logarithme et un o(-1/n + O(1/n^alpha)) mais je ne sais pas quoi faire de ce terme exactement.
J?ai aussi pensé à être un peu plus précis en disant que j?héritais d?un O((-1/n + O(1/n^alpha))^2) mais je n?aboutis pas non plus.
J?ai surtout essayer de revenir au définition pour trouver une solution parce que je ne connais aucun énoncé opératoire sur une sorte de simplification de o(X(n) + Y(n)).

Deuxièmement je comprends mal comment un tel bêta peut ressortir après un calcul comme celui là même si je crois qu?en résolvant mon premier problème je comprendrais mieux l?idée de poser ce bêta. Merci d?avance pour votre aide.

NB : il est possible qu?une erreur ce soit glissé dans le poly et qu?on obtienne plutôt un O(1/n^bêta) et non un o.

PS : c?est la première fois que je demande de l?aide sur un forum donc j?ai pas utilisé les petits symboles mathématiques proposés en dessous de l?espace pour écrire mon message.

_{malou edit > ** texte aéré, car c'était un peu indigeste ! **}