Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

manipulation sigma partie 2

Posté par
Aite33 07-09-19 à 20:28

Bonsoir, toujours sur la manipulation de sigma, j'aimerais traiter un autre exercice un peu plus complexe qui fait en plus de cela intervenir les suites arithmétique et géométrique
Voici l'énoncé:

pour tout a appartenant à R et n appartenant à N étoile, on pose Sn= \sum_{k=1}^{n} k * a^k

1) Calculer Sn pour a =1
2)  Lorsque a \neq1, calculer aSn-Sn et en déduire la valeur de Sn

1) pour 1),  on reconnait la suite arithmétique de raison r=1. D'ou, Sn= n *(n+1)/2

2) Je n'ai pas trop compris la correction..

a Sn- Sn= Sn (a-1) = a* \sum_{k=1}^{n} k * a^k -\sum_{k=1}^{n} k * a^k

= k*(a-1) * \sum_{k=1}^{n} k * a^k

on reconnait une suite géométrique de raison q=a

j'aurais donc dis que Sn= K* (a-1) * (1-a^n)/(1-a) mais la correction est autre la voici:

aSn-a= \sum_{k=1}^{n} k * a^k+1 -\sum_{k=1}^{n} k * a^k

             = \sum_{k=1}^{n} k * a^k+1 -\sum_{k=0}^{n-1} k * (k+1) a

             = \sum_{k=1}^{n} k * k*a^k+1 -\sum_{k=0}^{n-1} k *k* a^k+1 -
              
             \sum_{k=0}^{n-1} k * a^k+1

            = na^n+1 - \sum_{k=0}^{n-1} k * a^k+1

suite géométrique de raison q=a

D'ou, Sn=a * (1-a^n)/(1-a)

Je n'ai pas compris d'ou sort le puissance k+1 de la première ligne ni la simplification de la dernière ni la simplification de la dernière ligne qui donne na^n+1

Pouvez vous m'expliquer ?

Merci d'avance
            

Posté par
gautidlre : manipulation sigma partie 2 07-09-19 à 20:46

Salut,

Sn= \sum_{k=1}^{n} k * a^k
donc aSn= \sum_{k=1}^{n} k * a^k * a
donc aSn= \sum_{k=1}^{n} k * a^(k+1) en factorisant

Pour la dernière ligne je sais pas l'écriture me donne mal à la tête

Posté par
caritare : manipulation sigma partie 2 07-09-19 à 21:34

bonsoir

pour ce que j'ai vu/compris :

il y a beaucoup d'erreurs dans ton énoncé, sans doute des copier-coller de la formule latex:
par exemple des "k" qui ne devraient pas être dans les sommes, ni devant, d'ailleurs (?).

notamment à la dernière ligne :  = na^n+1 - \sum_{k=0}^{n-1} k * a^k+1  ----  le k en rouge n'a rien à faire là

ensuite, il manque des () sur les exposants : a^(k+1) et non pas a^k+1, ça n'est pas la mm chose

enfin des erreurs plus graves : exemple :

2) Je n'ai pas trop compris la correction..
a Sn- Sn= ... = k*(a-1) * \sum_{k=1}^{n} k* a^k
on reconnait une suite géométrique de raison q=a  --- sûrement pas !
le "k" en rouge l'interdit.

pourquoi ?
en développé, on a :
Sn = 1a1 + 2a² + 3a³ + ... + nan
ce n'est pas la forme d'une suite géométrique (à cause de "k")

avec les explications de gautidl,
reprends tout ça tranquillement
mais si souhaites d'autres explications, redonne ici ton énoncé attentivement relu et corrigé,
ça nous facilitera la lecture
a+

Posté par
caritare : manipulation sigma partie 2 08-09-19 à 11:34

bonjour
Latex est à nouveau opérationnel (merci Tom_Pascal )

je reviens sur le détail de la dernière ligne,
et tu constateras que ton "D'ou, Sn=a * (1-a^n)/(1-a) " est faux... tu as mal recopié la correction, ou mal recopié dans ton énoncé.

aS_n - S_n = \sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -  \color{blue}\sum_{k=1}^{k=n}{k.a^k} \\

changement d'indice sur la somme en bleu :
(a-1)S_n= \sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -   \color{blue}\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1).a^{k+1}}

distribution de (k+1) :
(a-1)S_n= \sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -   \color{blue}\sum_{k=0}^{n-1}{(k.a^{k+1} + a^{k+1})}

décomposition en 2 sommes
(a-1)S_n= \sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -  \color{blue}\sum_{k=0}^{n-1}{k.a^{k+1}} -  \sum_{k=0}^{n-1}{a^{k+1}}

simplification des 2 sommes en rouge
(a-1)S_n= \color{red}\sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -  \color{red}\sum_{k=0}^{n-1}{k.a^{k+1}}   \color{black} - \sum_{k=0}^{n-1}{a^{k+1}} \\ \\ \color{red}\sum_{k=1}^{k=n}{k.a^{k+1}}  -  \color{red}\sum_{k=0}^{n-1}{k.a^{k+1}}  = \color{black}\sum_{k=n}^{n}{k.a^{k+1}} = n a^{n+1}

d'où
   \\ (a-1)S_n=  n a^{n+1} -  \color{blue}\sum_{k=0}^{n-1}{a^{k+1}}  

on reconnait, en bleu, la somme des n termes d'une suite géométrique de raison a et de premier terme a
on peut d'ailleurs l'écrire \sum_{k=1}^{n}{a^{k}}  = a\; \dfrac{a^n - 1}{a - 1}

d'où
(a-1)S_n=  n a^{n+1} -  a\; \dfrac{a^n - 1}{a - 1} \\          S_n = ...
et pas ce que tu as écrit...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : manipulation sigma partie 2 09-09-19 à 08:14

Bonjour Aite33,
J'arrive après la bataille.
Un conseil à prendre ou à laisser. C'est toi qui vois.
Tu as des difficultés avec le symbole sigma.
N'hésite pas, pendant quelques temps, à les écrire au brouillon avec des pointillés.
Tu finiras par ne plus en avoir besoin.

Pour ta question (L'énoncé aurait pu demander "transformer aSn-Sn" plutôt que "calculer"), tu écrirais ceci :
Sn = a1+2a2+3a3+ ... +(n-1)an-1+nan

Donc \; aSn = a2+2a3+3a4+ ... +(n-1)an+nan+1

aSn-Sn = a2+2a3+3a4+ ... +(n-1)an+nan+1 - (a+2a2+3a3+ ... +(n-1)an-1+nan)

aSn-Sn = nan+1 - a - a2 - a3 - ... - an-1 - an \; , car par exemple \; (n-1)an - nan = -an


Rechercher
Menu
Espace membre
8 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1720 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !