Bonjour tout le monde.
J'ai un petit soucis avec un exo, dont voici l'énoncé :
Soit a>0, b>0, f strictement croissante surjective (donc continue) de [0;a] sur [0;b]. On note g la réciproque de f.
1/ On suppose f de classe C1
• Prouver que ab =
• Prouver que (u,v)
[0;a]x[0;b], uv
2/ Idem que 1/, sans l'hypothèse f de classe C1. Utiliser les sommes de Riemann.
Voila l'énoncé.
Je n'arrive pas à faire un lien entre le produit des bornes et la somme des deux intégrales...
J'ai vaguement essayé d'écrire 2-3 trucs, mais sans succès...
Si quelqu'un a une petite idée, ca serait sympa!
Merci d'avance et bonnes fêtes à tout le monde.
Bonjour nicoooo
c'est vrai que c'est pas forcément évident de faire le lien mais si tu regardes bien tu peux faire une intérprétation géométrique. Bien sûr, ça ne sera pas une démonstration mais tu comprendras mieux le phénomène.
En effet, la quantité ab est égale à l'aire du rectangle [0,a][0,b].
Comme f et g sont positives, alors les deux intégrales désignent des aires.
La première est égale à l'aire délimité par la courbe, les droites d'équations x=0 et x=a et par l'axes des abscisses.
La deuxième est égale à l'aire délimité par la courbe, les droites d'équations y=0 et y=b et par l'axes des ordonnées.
Pour démontrer ce résultat correctement, dans le cas où f est de classe de classe C1 effectue des changements de variable.
Kaiser
Dans la seconde intégrale, faisons le changement de variables . Alors
.
On a , d'où
. Donc
On a alors
La fonction est une primitive de
, on obtient alors :
Désolé, stokastik mais je crois que tu as supposé que f' ne s'annulait pas ce qui n'est pas totalement évident (d'ailleurs elle peut très bien s'annuler : par exemple la fonction carrée sur le segment [0,1])
Kaiser
Puisque f est strictement croissante et définie sur [0,a], alors f' ne peut que s'annuler en 0 ou en 1, donc ça doit le faire...
Tu as raison. Mais je ne sais plus quelle est la rigueur nécessaire dans les changements de variable... Si les points où la dérivée s'annule sont isolés, ça doit le faire non ?
Dans le cas d'une intégrale sur un segment, il suffit simplement que le chengement de variable soit C1.
Dans le cas d'intégrale à problème (ou impropres), il faut que le changement de variable soit un C1-difféomorphisme.
Ici, le fait que les zéros soient isolés doit pouvoir nous permettre de conclure mais bon , tu sais : rigueur oblige.
Kaiser
En fait, y'a pas besoin, parce que le problème qu'on se pose est un faux problème.
C'est bête mais il ne faut pas dire qu'on pose u=g(t) mais t=f(u), tu verras, y'aura aucun problème et on retombe sur ton calcul.
Kaiser
C'est ce que je me disais. Dire que "on pose u=g(t), donc du=g'(t)dt, etc..." c'est pas des maths c'est juste une méthode informelle qui permet d'écrire finalement la bonne formule.
Le cas f Riemann-intégrable, avec les sommes de Riemann ? Là je m'aiderais de l'interprétation géométrique que tu nous as indiquée tout à l'heure. Hélàs, j'ai d'autres chats à fouetter
Dire que "on pose u=g(t), donc du=g'(t)dt, etc..." c'est pas des maths c'est juste une méthode informelle qui permet d'écrire finalement la bonne formule.
Bein voyons...
Bonsoir;
2)On se place donc dans le cadre général de l'exercice c'est à dire qu'on suppose un homéomorphisme croissant et
.
(*)Je vais commencer par établir,en utilisant les sommes de Riemann,que:
étant un entier strictement positif on peut écrire pour tout
:
et en utilisant la croissance de
c'est à dire
une petite transformation (similaire à celle d'Abel) donne
et on voit alors que
et en faisant tendre
vers l'infini on a
qui est le résultat souhaité.
Pour on a en particulier que
(*)Fixons et considérons la fonction
on a
et il est clair que
présente un minimum global en
d'où
Sauf erreurs ...
Remarque:
Il est possible qu'on ait ou
(pour
ou
respectivement) mais cela ne change rien au fait que
présente un minimum en
sur tout l'intervalle
.
Sauf erreurs...
Waouw!
J'ai un peu bossé sur la version "graphique" et je l'ai montré a mon prof, qui m'a dit que c'était interessant,mais que je pouvais essayer d'approfondir...
Et voila que je reviens ici et que je vois une réponse parfaitement rédigée, claire et précise.
Alors déjà merci beaucoup à tout ceux qui ont répondu sur ce sujet, ca m'a bien aidé, et merci beaucoup à elhor_abdelali, qui comme d'habitude nous présente un travail parfaitement soigné.
Je vais aller potasser dessus, le jeune padawan que je suis a encore beaucoup de choses à apprendre... ^^
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :