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[Math spé] Exercie intégration sur un segment

Posté par nicoooo (invité) 29-12-05 à 11:25

Bonjour tout le monde.

J'ai un petit soucis avec un exo, dont voici l'énoncé :

Soit a>0, b>0, f strictement croissante surjective (donc continue) de [0;a] sur [0;b]. On note g la réciproque de f.

1/ On suppose f de classe C1
• Prouver que ab = \int_0^{a} f(t) dt + \int_0^{b} g(t) dt
• Prouver que (u,v)[0;a]x[0;b], uv\int_0^{u} f(t) dt + \int_0^{v} g(t) dt

2/ Idem que 1/, sans l'hypothèse f de classe C1. Utiliser les sommes de Riemann.


Voila l'énoncé.

Je n'arrive pas à faire un lien entre le produit des bornes et la somme des deux intégrales...

J'ai vaguement essayé d'écrire 2-3 trucs, mais sans succès...

Si quelqu'un a une petite idée, ca serait sympa!

Merci d'avance et bonnes fêtes à tout le monde.

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:42

Bonjour nicoooo

c'est vrai que c'est pas forcément évident de faire le lien mais si tu regardes bien tu peux faire une intérprétation géométrique. Bien sûr, ça ne sera pas une démonstration mais tu comprendras mieux le phénomène.

En effet, la quantité ab est égale à l'aire du rectangle [0,a][0,b].
Comme f et g sont positives, alors les deux intégrales désignent des aires.
La première est égale à l'aire délimité par la courbe, les droites d'équations x=0 et x=a et par l'axes des abscisses.
La deuxième est égale à l'aire délimité par la courbe, les droites d'équations y=0 et y=b et par l'axes des ordonnées.
Pour démontrer ce résultat correctement, dans le cas où f est de classe de classe C1 effectue des changements de variable.

Kaiser

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:42


Dans la seconde intégrale, faisons le changement de variables u=g(t). Alors du=g'(t)dt.

On a g'(t)=\frac{1}{f'\circ g(t)}=\frac{1}{f'(u)}, d'où dt=f'(u)du. Donc \int_0^bg(t)dt=\int_0^auf'(u)du

On a alors \int_0^af(t)dt+\int_0^bg(t)dt=\int_0^af(u)+uf'(u)du

La fonction u \mapsto uf(u) est une primitive de u \mapsto f(u)+uf'(u), on obtient alors : \int_0^af(t)dt+\int_0^bg(t)dt=af(a)=ab

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:45


Bien vu Kaiser! Je n'y avais point pensé ...

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:45

Désolé, stokastik mais je crois que tu as supposé que f' ne s'annulait pas ce qui n'est pas totalement évident (d'ailleurs elle peut très bien s'annuler : par exemple la fonction carrée sur le segment [0,1])

Kaiser

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:47


Puisque f est strictement croissante et définie sur [0,a], alors f' ne peut que s'annuler en 0 ou en 1, donc ça doit le faire...

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:48

...en 0 ou en a pardon

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:51

C'est faux !
Contre-exemple : la fonction x(x-\frac{1}{2})^{3} définie sur le segment [0,1].
f' s'annule en 1/2.

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 11:58


Tu as raison. Mais je ne sais plus quelle est la rigueur nécessaire dans les changements de variable... Si les points où la dérivée s'annule sont isolés, ça doit le faire non ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 12:05

Dans le cas d'une intégrale sur un segment, il suffit simplement que le chengement de variable soit C1.
Dans le cas d'intégrale à problème (ou impropres), il faut que le changement de variable soit un C1-difféomorphisme.
Ici, le fait que les zéros soient isolés doit pouvoir nous permettre de conclure mais bon , tu sais : rigueur oblige.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 12:10

En fait, y'a pas besoin, parce que le problème qu'on se pose est un faux problème.
C'est bête mais il ne faut pas dire qu'on pose u=g(t) mais t=f(u), tu verras, y'aura aucun problème et on retombe sur ton calcul.

Kaiser

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 12:35


C'est ce que je me disais. Dire que "on pose u=g(t), donc du=g'(t)dt, etc..." c'est pas des maths c'est juste une méthode informelle qui permet d'écrire finalement la bonne formule.

Posté par
kaiser Moderateur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 12:40

Eh oui !
A présent, il ne manque plus que l'autre cas.
Kaiser

Posté par
stokastik
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 12:53


Le cas f Riemann-intégrable, avec les sommes de Riemann ? Là je m'aiderais de l'interprétation géométrique que tu nous as indiquée tout à l'heure. Hélàs, j'ai d'autres chats à fouetter

Posté par
otto
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 29-12-05 à 15:32

Dire que "on pose u=g(t), donc du=g'(t)dt, etc..." c'est pas des maths c'est juste une méthode informelle qui permet d'écrire finalement la bonne formule.
Bein voyons...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 30-12-05 à 00:25

Bonsoir;
2)On se place donc dans le cadre général de l'exercice c'est à dire qu'on suppose f{:}[0,a]\to[0,b] un homéomorphisme croissant et g=f^{-1}.
(*)Je vais commencer par établir,en utilisant les sommes de Riemann,que:
\fbox{\forall x\in[0,a]\\\int_{0}^{x}f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}g(t)dt=xf(x)}
n étant un entier strictement positif on peut écrire pour tout x\in[0,a]:
\fbox{\int_{0}^{f(x)}g(t)dt=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\int_{f(\frac{kx}{n})}^{f(\frac{(k+1)x}{n})}g(t)dt} et en utilisant la croissance de g \fbox{\Bigsum_{k=0}^{n-1}(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))g(f(\frac{kx}{n}))\le\int_{0}^{f(x)}g(t)dt\le\Bigsum_{k=0}^{n-1}(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))g(f(\frac{(k+1)x}{n}))} c'est à dire \fbox{\frac{x}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}k(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))\le\int_{0}^{f(x)}g(t)dt\le\frac{x}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}(k+1)(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))} une petite transformation (similaire à celle d'Abel) donne \fbox{\Bigsum_{k=0}^{n-1}k(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))=(n-1)f(x)-\Bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{kx}{n})\\\Bigsum_{k=0}^{n-1}(k+1)(f(\frac{(k+1)x}{n})-f(\frac{kx}{n}))=nf(x)-\Bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{kx}{n})} et on voit alors que \fbox{\frac{(n-1)xf(x)}{n}-\frac{x}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{kx}{n})\le\int_{0}^{f(x)}g(t)dt\le xf(x)-\frac{x}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{kx}{n})} et en faisant tendre n vers l'infini on a \fbox{xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt\le\int_{0}^{f(x)}g(t)dt\le xf(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt} qui est le résultat souhaité.
Pour x=a on a en particulier que \fbox{ab=\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{b}g(t)dt}
(*)Fixons v\in[0,b] et considérons la fonction \fbox{F{:}[0,a]\to\mathbb{R}\\u\to\int_{0}^{u}f(t)dt+\int_{0}^{v}g(t)dt-uv} on a \fbox{F'(u)=f(u)-v} et il est clair que F présente un minimum global en u_0=g(v) d'où \fbox{\int_{0}^{u}f(t)dt+\int_{0}^{v}g(t)dt-uv\ge\int_{0}^{u_0}f(t)dt+\int_{0}^{f(u_0)}g(t)dt-u_0f(u_0)=0}

Sauf erreurs ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 30-12-05 à 17:18

Remarque:
Il est possible qu'on ait u_0=0 ou u_0=a (pour v=0 ou v=b respectivement) mais cela ne change rien au fait que F présente un minimum en u_0 sur tout l'intervalle [0,a].
Sauf erreurs...

Posté par nicoooo (invité)re : [Math spé] Exercie intégration sur un segment 04-01-06 à 13:30



Waouw!

J'ai un peu bossé sur la version "graphique" et je l'ai montré a mon prof, qui m'a dit que c'était interessant,mais que je pouvais essayer d'approfondir...

Et voila que je reviens ici et que je vois une réponse parfaitement rédigée, claire et précise.

Alors déjà merci beaucoup à tout ceux qui ont répondu sur ce sujet, ca m'a bien aidé, et merci beaucoup à elhor_abdelali, qui comme d'habitude nous présente un travail parfaitement soigné.

Je vais aller potasser dessus, le jeune padawan que je suis a encore beaucoup de choses à apprendre... ^^



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