Niveau autre

maths BCPST, complexes, trigo...

Posté par
Belgarath 26-09-05 à 22:17

Salut à tous!

Je gallère comme pas possible sur un DM de maths que je dois rendre jeudi... et ce n'est pas gagné...Si vous avez une minute à me consacrer, je vous remercirais de l'aide que vous m'apporterez!

Voici l'énoncé :

EXERCICE 1 :

1) Factoriser C_k=cosk-cos(k+1)+cos(k+2)   avec k

2) Résoudre C₃=0 .Préciser les solutions appartenants à [0,2[

Pour cet exercice, j'ai rempli des pages de calculs trigo sans rien trouver... C'est rageant...

EXERCICE 2 :

Résoudre dans l'équation z⁷-1=0

En déduire la valeur de cos(2/7)+cos(4/7)+cos(6/7)

Je trouve un résultat bisarre... c'est à dire en prenant z=eⁱ j'obtient que z⁷=e⁷ⁱ
d'où que =1 et z=e^i*0 car d'après l'énoncé z⁷=1
donc z=1...? Est-ce juste? Et comment faire la suite à partir de là?

EXERCICE 3 :

A chaque triplet A,B,C de points distincts du plan, d'affixes relatives a,b et c, on associe les nombres comlexes :

U(A,B,C)=a+bj+cj²  ;  V(A,B,C)=a+bj²+cj  ;  W(A,B,C)=(U(A,B,C))/V(A,B,C)

1/a.     Soient A₁, B₁ , C₁ les transfomrés de A,B et C dans la translation de vecteur v(avec la flèche au dessus...) d'affixe m.

Déterminer U(A₁, B₁ , C₁) ,V(A₁, B₁ , C₁) et W(A₁, B₁ , C₁) en fonction de U(A,B,C), V(A,B,C) et W(A,B,C)

b.     Soient A₂, B₂ , C₂ les transformés de A,B,C dans la rotation de centre O et d'angle

Déterminer U(A₂, B₂ , C₂) , V(A₂, B₂ , W₂) , C(A₂, B₂ , C₂) en fonction de U(A,B,C) , V(A,B,C) et W(A,B,C).

c.     Soient A₃, B₃ , C₃ les transfomrés de A,B,C dans l'homothétie de centre O et de rapport k.

Déterminer U(₃, B₃ , C₃), V(₃, B₃ , C₃) et W(₃, B₃ , C₃) en fonction de U(A,B,C),  V(A,B,C) et W(A,B,C).

2/ Déterminer les triangles ABC tels que U(A,B,C)=0  ou  V(A,B,C)=0

Pour cet exo notre prof nous a dit de nous servir d'une démonstration faite en exercice qui dit que 1+j+j²=0. (Je pense que cela ne sert que pour la dernière question...?)
Pour la première question, j'ai essayé de remplacer avec mes formules de complexes et je trouve que a₁=a+m , b₁=b+m , c₁=c+m
d'où U(A₁, B₁ , C₁)=a+bj+cj²+m(1+j+j²) or si 1+j+j²=0 alors la translation ne change rien ?
De même pour la rotation, et l'homothétie...?

Merci de votre aide!

Posté par re : maths BCPST, complexes, trigo... 26-09-05 à 22:18

pour le truc qui ne fonctionne pas (la petite fenetre rouge dans mon message) lire à la puissance 7

Posté par re : maths BCPST, complexes, trigo... 26-09-05 à 23:15

Je remonte le sujet, si quelqu'un a une idée...

Posté par re:maths BCPST, complexes, trigo... 27-09-05 à 00:43

Bonsoir Belgarath;
EXERCICE 1:
1) Si on se sert de la formule $\fbox{cos(p)+cos(q)=2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})}$ on a que:
$5$\blue\fbox{C_k=2cos(\theta)cos((k+1)\theta)-cos((k+1)\theta)=cos((k+1)\theta)(2cos(\theta)-1)}$
2) $\fbox{C_3=cos(4\theta)(2cos(\theta)-1)}$ donc
$\fbox{C_3=0\Longleftrightarrow ou\{{cos(4\theta)=0\\cos(\theta)=\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow ou\{{4\theta=\frac{\pi}{2}+m\pi\hspace{5}(m\in\mathbb{Z})\\\theta=\pm\frac{\pi}{3}+2m\pi\hspace{5}(m\in\mathbb{Z})}\Longleftrightarrow ou\{{\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{m\pi}{4}\hspace{5}(m\in\mathbb{Z})\\\theta=\pm\frac{\pi}{3}+2m\pi\hspace{5}(m\in\mathbb{Z})}$ d'où:
$5$\blue\fbox{S_{\mathbb{R}}=\{\frac{\pi}{8}+\frac{m\pi}{4}\hspace{5},\hspace{5}\pm\frac{\pi}{3}+2m\pi\hspace{5}/\hspace{5}(m\in\mathbb{Z})\}\\S_{[0,2\pi[}=\{\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{8},\frac{5\pi}{8},\frac{7\pi}{8},\frac{9\pi}{8},\frac{11\pi}{8},\frac{13\pi}{8},\frac{5\pi}{3},\frac{15\pi}{8}\}}$
Sauf erreurs bien entendu

Posté par re : maths BCPST, complexes, trigo... 27-09-05 à 02:17

Bonsoir

Exercice2;

1) $Z^7=1$      $Z_k=e^{\frac{2ik\pi}{7}}$     ;k=0;1;2;3,4;5;6
2) on pose $w=e^{\frac{2i\pi}{7}}$
comme  w1   Alors elle vérifie;  1+w+w²+w³+ ${\omega}^4$ +w⁵+w⁶=0
et comme w⁶= $\bar{\omega}$ ;w⁵= $\bar{\omega}^2$ ; ${\omega}^4=\bar{\omega}^3$
Alors   1+2cos( $\frac{2\pi}{7}$ )+2cos( $\frac{4\pi}{7}$ )+2cos( $\frac{6\pi}{7}$ )=0

conclusion; cos( $\frac{2\pi}{7}$ )+cos( $\frac{4\pi}{7}$ )+cos( $\frac{6\pi}{7}$ )=-1/2

sauf erreur