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maths BCPST : démonbrement
Salut à tous! Je calle complètement sur un DM de maths... j'ai bien cherché, je ne comprends même pas la première question qui me bloque tout le reste! :
Dans tout le problème, n est un entier naturel strictement positif.
On note En=[|1;n|] et Ep=[|1;p|] (les [| et |] signifie intervalle des entiers)
On note Sn,p le nombre d'applications surjectives de En sur Ep.
1/a/ Calculer Sn,p pour p strictement supérieur à n
Calculer Sn,n ; Sn,1 ; Sn,2
b/ Calculer Sp+1,p (on pourra considérer l'élément 
de Ep ayant 2 antécédents après avoir justifié son existence).
Bon, je vais m'arrêter là, et j'essayerai de faire la suite avec vos réponses pour le début... si je gallère trop encore, je reviendrais poser une chtite question...
Merci à tous!
Les surjections correspondent aux applications pour lesquelles une image n'a au plus qu'un antécédént.
Ton ensemble de départ a n éléments et celui d'arrivée p.
Pour le premier élément de D (ensemble de départ), tu peux choisir parmi p éléments. En revanche pour le second tu ne peux plus choisir que dans p-1 (le dernier étant celui qui est déjà image du premier et ainsi de suite.
Le nombre de surjection est donc:
Sn,p=p X (p-1) X (p-2) X ... X (p-n+1)
en notant n! (factorielle n) = n X (n-1) X ... X (1)
on a:
Sn,p= p!/(n-p)!
Sn,n= n! = nombre de bijections de D dans A
S1,n = n (on choisit quel élément de départ aura le singleton comme image à l'arrivée parmi n)
S2,n= n X (n-1)
b) Sp,p+1=p
Voila!
Bon courage.
JMG
Salut,
?????
Les surjections correspondent plutôt aux applications qui donnent au moins un antécédent à tout élément de l'ensemble d'arrivée.
Donc Sn,p = 0 si p>n...
A+
biondo
He bien oui je me suis trompé...
Bon ceci dit corrigeant l'énormité on doit pouvoir refaire le raisonnement:
Les surjections correspondent aux applications pour lesquelles chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.
Ton ensemble de départ a n éléments et celui d'arrivée p (p < n contrairement à ce qui m'a induit en erreur..)
Pour le premier élément de A (ensemble d'arrivée), tu peux choisir parmi n éléments. En revanche pour le second tu ne peux plus choisir que dans n-1 (le dernier étant celui qui est déjà image du premier et ainsi de suite.
Le nombre de surjection est donc:
Sn,p=n X (n-1) X (n-2) X ... X (n-p+1)
en notant n! (factorielle n) = n X (n-1) X ... X (1)
on a:
Sn,p= n!/(n-p)!
Sn,n= n! = nombre de bijections de D dans A
Sn,1 = n (on choisit quel élément de départ aura le singleton comme image à l'arrivée parmi n)
Sn,2= n X (n-1)
b) Sp,p+1=p
Voila!
Bon courage.
????? (bis)
Sn,1 = 1 chez moi...
Les applications qui ont pour image le singleton {1}, j'en vois qu'une:
f: n élément de [1,..,n] -----> 1
biondo
En bref:
Sn,p = 0 pour p>n
Sn,n = n!
Sn,1 = 1
Sn,2 = 2^n - 2 (si n>1. 0 si n=1)
La plus dure, c'est la derniere.
Deux manieres de faire: par recurrence, ou directement.
Directement:
Le nombre de surjections, c'est le nombre d'applications moins le nombre d'applications qui ne sont pas des surjections. Le nombre d'applications, ca fait 2^n (facile). Et les applis qui ne sont aps des surjections, ce sont celles dont l'image n'est pas l'intervalle compl,et. Autrment dit, les applis qui ont comme image l'un des deux singletons: {1} ou {2}. Ca en fait deux.
A+
biondo
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