Bonjour, j'ai un petit souci pour déterminer image et noyau de la matrice, je vous écris ce que j'ai fait pour la première question.
  
Enoncé:
A = (111 111 111)  B= (311 131 113)

    1) Déterminer le noyau et l'image de l'application linéaire représenté par A dans la base canonique de R3, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
    2) Calculer A2 et exprimer le résultat linéairement en fonction de A.
    En déduire pour tout n ∈ N∗ une expression de An comme multiple de A.
  3)   Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B2 et la matrice identité.
  4)  En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
    5) Donner une expression de Bn pour tout n ∈ N∗.


Réponse:
1)

f: R^3 -> R^3 donc f:(x,y,z) -> (x+y+z, x+y+z, x+y+z)
On détermine les vecteurs de A tel que f(x)=OR^3
Soit u=(x,y,z) vecteur de R^3
f(u) =  (x+y+z, x+y+z, x+y+z)

u appartient à Ker f <=> f(u) = 0
                                             <=>  (x+y+z, x+y+z, x+y+z) = (0,0,0)
                                             <=> x+y+z = 0

Ker f = {(x, -x-z, -x-y)}
            = vect {(1, -1-z, -1-y)}

Je ne sais pas du tout si ce qui est en gras est vraiment bon...

Pour l'image il faut faire le même mais avec (x+y+z, x+y+z, x+y+z) = (a, b , c) ?

2) A^2 = A * A
Je trouve une matrice 3 colonnes 3 lignes avec que des 3
Donc, A^2 = 3A ?

Et là, pour déterminer A^n c'est le drame..

Désolée pour le pavé, merci.