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Niveau Maths sup
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Matrice

Posté par
tanb56
25-03-23 à 19:38

Bonsoir à tous !

J'ai un souci sur l'énoncé suivant : "Soit d ∈ N* et P(X)=1+X+...+X^(d-1). Déterminer toutes les matrices diagonales D de M_n(ℂ) telles que P(D)=0"

J'ai quand même cherché avant de venir ici, j'ai pensé  à mettre des coefficient λ_i de la forme exp(2iπk/d) pour k allant de 0 à d-1. Est ce que cela permet de résoudre le problème ? (mon prof a dit que la réponse s'écrivait en 4 lignes donc je suis pas trop confiant sur ce que je m'apprête à écrire ^^')

Posté par
GBZM
re : Matrice 25-03-23 à 19:45

Bonsoir,
Quel rapport y a-t-il entre un polynôme annulateur d'une matrice et les valeurs propres de celle-ci ?

Posté par
tanb56
re : Matrice 25-03-23 à 19:47

Et bien, si on considère une matrice P,  un polynôme annulateur d'un endomorphisme f par exemple, alors les valeurs propres de f sont les racines de P. (on a pas trop insisté sur le terme valeur propre en cours donc c'est encore un peu flou dans ma tête)

Posté par
carpediem
re : Matrice 25-03-23 à 21:18

salut

on peut aussi calculer (I - D) P(D) ...

Posté par
tanb56
re : Matrice 25-03-23 à 22:23

Je vais essayer de calculer (I-D)P(D)
On a :
P(D) = (D^d - I)/(D-1)
Donc (I-D)P(D) = (I-D)P(D) = (D^d - I)/(D-1) - D(D^d - I)/(D-1)
                                                            = ((D^d - I) - D(D^d - I))/(D-1)
                                                            = (D^d - D^d + I)/(D-1)
                                                            = I/(D-1)
Mais ducoup la matrice D-1 n'est pas inversible (elle a au moins une valeur propre nulle), cela ne pose pas de problème pour la suite du calcul ?

Posté par
carpediem
re : Matrice 26-03-23 à 09:52

comment peux-tu écrire des divisions avec des matrices ? additionner la matrice D avec le nombre 1 ?

Posté par
GBZM
re : Matrice 26-03-23 à 21:27

Évitons donc de parler de valeurs propres et prenons les choses par un autre bout.

Si D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\lambda_n\end{pmatrix}, alors P(D)={?}  (tu peux commencer par le cas d'un monôme P=a_kX^k).



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