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Matrice
Bonsoir à tous !
J'ai un souci sur l'énoncé suivant : "Soit d ∈ N* et P(X)=1+X+...+X^(d-1). Déterminer toutes les matrices diagonales D de M_n(ℂ) telles que P(D)=0"
J'ai quand même cherché avant de venir ici, j'ai pensé à mettre des coefficient λ_i de la forme exp(2iπk/d) pour k allant de 0 à d-1. Est ce que cela permet de résoudre le problème ? (mon prof a dit que la réponse s'écrivait en 4 lignes donc je suis pas trop confiant sur ce que je m'apprête à écrire ^^')
Bonsoir,
Quel rapport y a-t-il entre un polynôme annulateur d'une matrice et les valeurs propres de celle-ci ?
Et bien, si on considère une matrice P, un polynôme annulateur d'un endomorphisme f par exemple, alors les valeurs propres de f sont les racines de P. (on a pas trop insisté sur le terme valeur propre en cours donc c'est encore un peu flou dans ma tête)
Je vais essayer de calculer (I-D)P(D)
On a :
P(D) = (D^d - I)/(D-1)
Donc (I-D)P(D) = (I-D)P(D) = (D^d - I)/(D-1) - D(D^d - I)/(D-1)
= ((D^d - I) - D(D^d - I))/(D-1)
= (D^d - D^d + I)/(D-1)
= I/(D-1)
Mais ducoup la matrice D-1 n'est pas inversible (elle a au moins une valeur propre nulle), cela ne pose pas de problème pour la suite du calcul ?
comment peux-tu écrire des divisions avec des matrices ? additionner la matrice D avec le nombre 1 ?
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