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Matrice à coefficients complexes - Déterminant, rang, ect.
Bonjour à tous, j'ai besoin d'un peu d'aide sur un exercice dont voici l'énoncé :
Soient a,b,c,d quatre complexes (j'insiste bien, il m'est arrivé de l'oublier en faisant l'exercice, et ça change tout si on les considère comme réels...) avec a²+b²
0, et
Calculer A*tA, det(A), et montrer rg(A)
{2,4}
On suppose a²=b²+c²+d²0, montrer que A est diagonalisable.
Voilà, donc je trouve A*tA=(a²+b²+c²+d²)I.
Ensuite, det(A)=det(tA) donc det(A)²=(a²+b²+c²+d²)4
D'où det(A) = (a²+b²+c²+d²)² OU det(A)= -(a²+b²+c²+d²)²
Mais je ne vois pas comment savoir lequel est le bon.
J'ai calculé le déterminant, en le développant selon sa première ligne, puis en développant les déterminants 3x3 obtenus selon leur première ligne : un calcul très lourd qui me donne finalement det(A) = (a²+b²+c²+d²)²
Mais je veux utiliser la méthode que suggère implicitement l'énoncé, en utilisant la transposée, cependant je ne vois pas comment éliminer la solution det(A)= -(a²+b²+c²+d²)²...
Et j'aurais bien besoin d'aide pour la question sur le rang, si possible, je ne vois pas comment partir, tout ce que je connais comme relation entre rang et déterminant c'est que : le rang est maximal si et seulement si le déterminant est non nul.
Je ne vois pas comment l'utiliser puisque la seule information que nous ayons, c'est a²+b² non nul...
Merci d'avance pour votre aide !
Bonsoir
1°) Le calcul de la diagonale principale donne : a4, donc, det(A) = (a²+b²+c²+d²)²
2°) On observe que tA = -A, donc,
A.tA = (a²+b²+c²+d²)I 
-A² = =(a²+b²+c²+d²)I a² + (a²+b²+c²+d²)I = 0
A annule le polynôme X² + (a²+b²+c²+d²) = 0
Si (a²+b²+c²+d²) est non nul,ce polynôme est scindé à racines simples, donc A est diagonalisable.
Merci pour votre aide !
Je comprends comment vous avez fait pour le déterminant, mais j'ai du mal à voir comment je peux le rédiger proprement... Est-ce une sorte de "propriété" de dire que le premier terme du déterminant est le produit des éléments diagonaux ? Bien évidemment je sais que c'est vrai, mais on ne l'a jamais démontré en cours, c'est pour ça que je me demande.
Sinon, je ne crois pas que tA=-A, puisque les coefficients diagonaux restent inchangés en transposant, non ?
Le premier terme d'un déterminant est le produit des termes diagonaux.
Pourquoi n'a-t-on pas tA = - A ?
Les coefficients diagonaux de -A sont -a, -a, -a et -a, alors que ceux que tA sont a, a, a, et a, non ?
Tu as raison, c'est : A - a.I qui vérifie cette propriété.
Revenons à la première question.
Si a²+b²+c²+d² 0, alors, Rg(A) = 4
Si a²+b²+c²+d² = 0, le calcul du premier mineur d'ordre 2 donne a² + b² : non nul par hypothèse. Donc, Rg(A) 
2.
Pour le polynôme caractéristique, on remplace a par a - X :
det(A) = (a²+b²+c²+d²)² det(A - XI) = ((a-X)²+b²+c²+d²)² = (X² - 2aX + a² + b² + c² + d²)²
"le calcul du premier mineur d'ordre 2 donne a² + b²"
J'ai du mal à saisir ce que cela veut dire ^^"
Oh je vois !
c'est le déterminant d'une matrice 2x2, non nul, donc
il existe une sous-matrice de A, de dimension 2, inversible, donc rg(A)2
Et pour montrer que le rang ne peut pas être 3, y a t'il une méthode simple ?
je suppose qu'on peut le montrer par "épuisement des cas", en calculant les déterminants de toutes les
sous-matrices 3x3, et en montrant que tous ces déterminants sont nuls, mais ça fait beaucoup de cas à traiter...
En tout cas merci beaucoup !
J'ai trouvé un résultat intéressant.
A + tA = 2a.I
En multipliant à gauche par A :
A² + A.tA = 2a.A
A² - 2a.A + (a² + b² + c² + d²).I = 0
Je poursuis.
1°) Nous savons que le mineur :
a b
-b a
est non nul. Dans ce cas, il suffit de border ce mineur pour rechercher si Rg(A) = 3. Il faut évaluer les deux déterminants :
a b c
-b a -d
-c d a
et
a b d
-b a c
-d -c a
Un calcul simple montre que ces deux mineurs d'ordre 3 sont nuls. Cela suffit pour affirmer que Rg(A) = 2
J'ai du mal à voir pourquoi le calcul des deux déterminants qui bordent la première sous matrice suffit à montrer que le rang est égal à 3... Est-ce que cela découle d'une propriété du cours ?
Sinon, je remonte un peu plus haut, pour le calcul du déterminant de la matrice, je rappelle mes doutes :
on avait det(A)²=(a²+b²+c²+d²)4
et j'avais pensé que det(A)=(a²+b²+c²+d²)² ou det(A)=-(a²+b²+c²+d²)², puis nous savions que le premier terme de det(A) était nécessairement a4, d'où la réponse...
Mais au sujet de cette méthode, comme a,b,c,d sont complexes, la résolution est fausse non ?
Pour des complexes Y et Z, on a pas Y²=Z4 => Y=Z² ou Y=-Z², il y a d'autres solutions, je me trompe ?
J'ai du mal à voir pourquoi le calcul des deux déterminants qui bordent la première sous matrice suffit à montrer que le rang est égal à 3... Est-ce que cela découle d'une propriété du cours ? : oui
Pour des complexes Y et Z, on a pas Y²=Z4 => Y=Z² ou Y=-Z², il y a d'autres solutions, je me trompe ? Il y a deux solutions (second degré en Y).
Je vois. Merci !
Pour le polynôme annulateur P=X²-2aX+a²+b²+c²+d² que vous avez trouvé, l'hypothèse de la dernière question donne a²=b²+c²+d² d'où P= X-2aX+2a² et P=(X-(1+i)a)(X-(1-i)a) avec a non nul, donc A annule un polynôme scindé à racines simples et est diagonalisable dans C !
Merci encore pour toute votre aide et votre patience !
Bonne soirée
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