Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Partager :

Matrice à coefficients entiers

Posté par
Milka3 20-09-23 à 15:10

Bonjour,
je dois répondre à la question suivante :

Citation :

Soit M\in M_n(\mathbb{Z}) telle que \det(M)=\pm 1. Montrer que M\in GL_n(\mathbb{Z}).


Déjà, je peux dire que  M\in GL_n(\mathbb{R})  vu que \det(M)\neq 0.
Et là, j'hésite. Est-ce que je peux dire que les coefficients de M sont entier et donc conclure. Où bien je loupe quelque chose ?
Merci de votre aide !

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 15:19

Bonjour

Que fais-tu de cette matrice?

\begin{pmatrix} \pi & 0 \\ 0 & 1/\pi\end{pmatrix}

Posté par
GBZMre : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 16:07

Bonjour,
Tu te demandes si tu peux affirmer qu'une matrice à coefficients entiers qui est dans \mathrm{GL}_n(\mathbb R) est dans \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) ?
Peux tu rappeler la définition de \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) ? Que penses-tu de la matrice \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} ?
[Bonjour Camelia. Après avoir lu le message de Milka3, j'ai pensé utile de poser cette autre question]

Posté par
thetapinch27re : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 20:35

Bonsoir,

@GBZM : ça et le déterminant qui vaut +/-1
@Milka3 : utilise la formule générale qui donne l'inverse d'une matrice.

Bon courage

Posté par
coa347re : Matrice à coefficients entiers 21-09-23 à 08:23

Bonjour, tu loupes que \det(M) \ne 0 n'est pas suffisant.
C'est vrai car \det(M) est inversible dans \mathbb Z.
Exemple : inverse de la matrice : \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 11 & 7 \end{pmatrix} ?

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 15:12

Camélia @ 20-09-2023 à 15:19

Bonjour

Que fais-tu de cette matrice?

\begin{pmatrix} \pi & 0 \\ 0 & 1/\pi\end{pmatrix}


Bonjour,
alors je dirais que cette matrice n'est pas à coefficient dans au départ, mais son déterminant vaut bien 1 !

GBZM : pour préciser les définitions, on dit que M\in GL_n(\mathbb{Z}) s'il existe M'\in M_n(\mathbb{Z}) tq. MM'=M'M=I_n.

Du coup, j'ai écris ceci :
det(M)\neq 0 et donc M\in GL_n(\mathbb{R}) avec M^{-1}=\frac{1}{det(M)}^tcom(M)=\pm^tcom(M).

Mais :
M\in M_n(\mathbb{Z}) \Rightarrow com(M)\in M_n(\mathbb{Z})  \Rightarrow ^tcom(M)\in M_n(\mathbb{Z}) \Rightarrow M^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})

Et ceci permet de conclure.
Ai-je bon ?
Encore merci !

Posté par
carpediemre : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 18:49

salut

si M est inversible  que vaut det (M-1) ?
si M est inversible dans Z que vaut det (M) ?

de plus se rappeler que les coefficients de M-1 sont des combinaison linéaire de produits des coefficients de M multipliés par un certain facteur qui est ... ?

Posté par
GBZMre : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 20:44

"Ai-je bon ?"
Je déteste répondre à cette question.  je prèfère demander : t'es-tu convaincu ?
Il faudrait donner un petit argument pour expliquer que la matrice des cofacteurs d'une matrice à coefficients entiers est à coefficients entiers (cet argument vaut aussi en remplaçant \mathbb Z par n'importe quel anneau commutatif.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 03-10-23 à 16:02

Oui, je suis davantage convaincu par ce que j'ai écris précédemment !

Pour préciser les choses, je dirais que la comatrice de A est la matrice des cofacteurs. Et comme les cofacteurs sont des combinaisons linéaires des coefficients de la matrice initiale, ce sont tous des entiers.

Donc com(A)\in\mathbb{Z}.
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
GBZMre : Matrice à coefficients entiers 03-10-23 à 17:14

Citation :
Et comme les cofacteurs sont des combinaisons linéaires des coefficients de la matrice initiale

Non, ce ne sont pas des combinaisons linéaires, mais des polynômes à coefficients entiers en les coefficients de la matrice initiale.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 14-10-23 à 15:56

Merci beaucoup GBZM ! J'ai repris l'intégralité de l'exercice :

On a \det(M)=\pm 1\neq 0 donc M est inversible dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) avec :

M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}^tcom(M)=\pm^tcom(M)

La comatrice de M est la matrice des cofacteurs, qui sont tous des polynômes à coefficients entiers en les coefficients de la matrice M : ce sont donc tous des entiers. D'où com(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et par suite M^{-1}=\pm^tcom(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).

Par conséquent, il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tel que MM^{-1}=M^{-1}M=I_n, soit M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Je pense que c'est meilleur !

Posté par
Milka3Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:07

Bonjour,

je dois montrer que \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est un sous-groupe de \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}). Par définition, je dois donc montrer que c'est une partie non vide de \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}) stable par produit et inversion.

On a trivialement \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z})\subset \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}) car \mathbb{Z}\subset \mathbb{R}.
On a directement I_n\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).
Je dois montrer la stablité par inversion et j'ai du mal ici.
Pouvez-vous me donner un coup de pouce ?
Merci beaucoup !

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:52

Bonjour

Tu as eu toutes les indications ici: Matrice à coefficients entiers

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:54

salut

une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est inversible
et des inversibles dans Z yena pas beaucoup !!

je ne sais pas si ça aide mais tout de même ... et il me semble que ce n'est pas sans lien avec Matrice à coefficients entiers

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 18:18

Bonjour
n'y a-t-il pas un lien avec Matrice à coefficients entiers ?


*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 18:19

bon, OK, nous sommes 3 à nous poser la même question ...


*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Matrice à coefficients entiers 14-10-23 à 18:19

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:45

Oups, je ne pensais pas mal faire ! Navré pour la gêne occasionée

Du coup, je reprends les éléments de ce fil comme suit :
Soit M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}). Alors il existe une matrice inverse M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) vérifiant MM^{-1}=I_n.

En passant l'égalité aux déterminants, j'obtiens que det(M)det(M^{-1})=1 et donc det(M^{-1})=\pm1\neq 0 car les seuls diviseurs entiers de 1 sont \pm1.

D'où M^{-1}\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Ce qui permet effectivement de conclure.

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:57

C'est insuffisant.
Mais tu avais fini le 14-10 à 15:56.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:01

Pourquoi compliquer?
la formule de la multiplication des matrices montre de toute évidence la stabilité du produit.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:02

Camélia @ 15-10-2023 à 14:57

C'est insuffisant.
Mais tu avais fini le 14-10 à 15:56.

Pour quel point ? La stabilité par inversion ou celle par produit ?

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:03

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Du coup, ceci est juste ?

Ce qui permet effectivement de conclure.

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:04

Celle par produit.
Pour l'inversion il faut faire ce que tu avais fait (après moult suggestions de GBZM). Ecrire l'inverse en utilisant la comatrice.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:33

Je reprends

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Ce qui permet effectivement de conclure.


Du coup, ceci convient, non ?
Précision : je considère M,N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}). Alors det(M)\neq0 et det(N)\neq 0 et donc det(MN)\neq 0. Non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:53

NON.

Le fait que le déterminant est non nul ne prouve ni que le produit est à coefficients entiers, ni que l'inverse l'est!

Essaye de regarder si GL_n(\N) est un groupe, en utilisant les mêmes raisonnements que ci-dessus!

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:34

Je vois !

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:34

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Dans ce cas, ceci convient ?

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:35

Dans ce cas, ceci convient ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:49

Non, tu n'as toujours rien démontré! Voilà ce que tu fais appliqué à \N

Si M\in GL_n(\N), on a det(M)det(M^{-1})=1, donc det(M)=det(N)=1.
Après, tu recopies ce que tu as écrit, et ça a l'air de marcher.

Néanmoins,

\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} est à coefficients dans \N et son déterminant est 1, mais son inverse qui est \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix} n'est pas à coefficients dans \N.

Je dois partir, médites là-dessus. Quelqu'un d'autre interviendra probablement.

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 17:00

Merci ! J'ai beaucoup mieux compris pourquoi le raisonnement avec les déterminants ne convient pas !

Mais celui ci-dessous n'en parle pas. Alors je ne vois pas l'erreur

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 16-10-23 à 14:46

Tu affirmes que M est inversible dans M_n(\Z) mais tu ne le démontres jamais!

Ce que tu démontres, c'est que si M et N sont inversibles, MN l'est aussi, ce qui pourrait prouver la stabilité par produit, (ce qui se fait bien plus facilement), mais pas que les nverses sont à coefficients entiers!

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 17-10-23 à 11:51

Ok, je crois que je commence à comprendre.

Stabilité par inversion
Je considère M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) et je veux montrer qu'alors M^{-1}\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).
Je dois donc montrer que M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et que det(M^{-1})\neq 0 .

D'une part :
si M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) alors il existe une matrice M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tq. MM^{-1}=I_n d'où l'on tire que \det(M)=\pm 1.
On a donc M^{-1}=\pm^tcom(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).

D'autre part :
on tire de l'égalité MM^{-1}=I_n que \det(M^{-1})=\pm 1\neq 0.

On a donc bien la stabilité par inversion !
Est-ce mieux ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 17-10-23 à 15:08

Bien sur que c'est mieux, c'est même exactement ce qu'il fallait faire, et c'était fait depuis le début!

Je reviens un peu sur ce que j'ai écrit. On a un anneau A et un sous-anneau B. La question était de montrer que l'inverse d'une matrice à coefficients dans B, qui est inversible dans A est aussi à coefficients dans B. Maintenant tu as vu comment ça a marché pour A=\R et B=\Z. Probablement tu as vu aussi que çe n'est pas vrai si on prend A=\Z et B=\N.

Ceci étant dit, pour n'importe quel anneau, GL_n(A) (l'ensemble des matrices inversibles) est un groupe, puisque il y a au moins l'identité et que tu as surabondamment prouvé que si M et N sont inversibles, MN l'est aussi!

Est-ce plus clair?

Donc au début de ta démonstration, tu n'écris pas que tu prends M\in GL_n(\Z) mais que tu prends M\in M_n(\Z)\cap GL_n(\R] et tu prouves qu'alors M\in GL_n(\Z)

Posté par
Milka3re : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 10:18

C'est beaucou plus clair ! Merci !

Considérons M,N\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

D'une part, MN est à coefficients entiers comme produit de deux matrices à coefficients entiers.

D'autre part, comme M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) alors \det(M)=\pm 1. De même, \det(N)=\pm 1. Ainsi, \det(MN)=\pm 1\neq 0.

Finalement, on a MN\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) avec \det(MN)\neq 0, c'est-à-dire MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) : l'ensemble \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est donc stable par produit.

Posté par
GBZMre : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 11:02

Bonjour,
Il y a des choses qiui me semblent bizarres.
Camélia @ 17-10-2023 à 15:08

Donc au début de ta démonstration, tu n'écris pas que tu prends M\in GL_n(\Z) mais que tu prends M\in M_n(\Z)\cap GL_n(\R] et tu prouves qu'alors M\in GL_n(\Z)

??? Une matrice à coefficients entiers inversible sur \mathbb R ne l'est pas forcément sur \mathbb Z.[

quote=Milka3 @ 22-10-2023 à 10:18]Finalement, on a MN\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) avec \det(MN)\neq 0, c'est-à-dire MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z})

??? Même remarque.

Je reviens à la question initiale
Milka3 @ 14-10-2023 à 16:07

je dois montrer que \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est un sous-groupe de \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}).

Par définition, \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) est un groupe, c'est le groupe des éléments inversibles de l'anneau M_n(\mathbb Z). C'est aussi un sous-ensemble de \mathrm{GL}_n(\mathbb R). Et il est clair que l'inclusion est un homomorphisme de groupes (la multiplication est la même !).
La question me semeble donc bizarre. Quelle est sa formulation exacte ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 15:46

Rebonjour

En effet j'ai fini par écrire des bêtises, dans la confusion totale de ce topic.
Mais la question initiale (dans le tout premier post) est claire:

Soit M\in M_n(\mathbb{Z}) telle que \det(M)=\pm 1. Montrer que M\in GL_n(\mathbb{Z}).


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !