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Matrice à coefficients entiers

Posté par
Milka3
20-09-23 à 15:10

Bonjour,
je dois répondre à la question suivante :

Citation :

Soit M\in M_n(\mathbb{Z}) telle que \det(M)=\pm 1. Montrer que M\in GL_n(\mathbb{Z}).


Déjà, je peux dire que  M\in GL_n(\mathbb{R})  vu que \det(M)\neq 0.
Et là, j'hésite. Est-ce que je peux dire que les coefficients de M sont entier et donc conclure. Où bien je loupe quelque chose ?
Merci de votre aide !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 15:19

Bonjour

Que fais-tu de cette matrice?

\begin{pmatrix} \pi & 0 \\ 0 & 1/\pi\end{pmatrix}

Posté par
GBZM
re : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 16:07

Bonjour,
Tu te demandes si tu peux affirmer qu'une matrice à coefficients entiers qui est dans \mathrm{GL}_n(\mathbb R) est dans \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) ?
Peux tu rappeler la définition de \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) ? Que penses-tu de la matrice \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} ?
[Bonjour Camelia. Après avoir lu le message de Milka3, j'ai pensé utile de poser cette autre question]

Posté par
thetapinch27
re : Matrice à coefficients entiers 20-09-23 à 20:35

Bonsoir,

@GBZM : ça et le déterminant qui vaut +/-1
@Milka3 : utilise la formule générale qui donne l'inverse d'une matrice.

Bon courage

Posté par
coa347
re : Matrice à coefficients entiers 21-09-23 à 08:23

Bonjour, tu loupes que \det(M) \ne 0 n'est pas suffisant.
C'est vrai car \det(M) est inversible dans \mathbb Z.
Exemple : inverse de la matrice : \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 11 & 7 \end{pmatrix} ?

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 15:12

Camélia @ 20-09-2023 à 15:19

Bonjour

Que fais-tu de cette matrice?

\begin{pmatrix} \pi & 0 \\ 0 & 1/\pi\end{pmatrix}


Bonjour,
alors je dirais que cette matrice n'est pas à coefficient dans au départ, mais son déterminant vaut bien 1 !

GBZM : pour préciser les définitions, on dit que M\in GL_n(\mathbb{Z}) s'il existe M'\in M_n(\mathbb{Z}) tq. MM'=M'M=I_n.

Du coup, j'ai écris ceci :
det(M)\neq 0 et donc M\in GL_n(\mathbb{R}) avec M^{-1}=\frac{1}{det(M)}^tcom(M)=\pm^tcom(M).

Mais :
M\in M_n(\mathbb{Z}) \Rightarrow com(M)\in M_n(\mathbb{Z})  \Rightarrow ^tcom(M)\in M_n(\mathbb{Z}) \Rightarrow M^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})

Et ceci permet de conclure.
Ai-je bon ?
Encore merci !

Posté par
carpediem
re : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 18:49

salut

si M est inversible  que vaut det (M-1) ?
si M est inversible dans Z que vaut det (M) ?

de plus se rappeler que les coefficients de M-1 sont des combinaison linéaire de produits des coefficients de M multipliés par un certain facteur qui est ... ?

Posté par
GBZM
re : Matrice à coefficients entiers 24-09-23 à 20:44

"Ai-je bon ?"
Je déteste répondre à cette question.  je prèfère demander : t'es-tu convaincu ?
Il faudrait donner un petit argument pour expliquer que la matrice des cofacteurs d'une matrice à coefficients entiers est à coefficients entiers (cet argument vaut aussi en remplaçant \mathbb Z par n'importe quel anneau commutatif.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 03-10-23 à 16:02

Oui, je suis davantage convaincu par ce que j'ai écris précédemment !

Pour préciser les choses, je dirais que la comatrice de A est la matrice des cofacteurs. Et comme les cofacteurs sont des combinaisons linéaires des coefficients de la matrice initiale, ce sont tous des entiers.

Donc com(A)\in\mathbb{Z}.
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
GBZM
re : Matrice à coefficients entiers 03-10-23 à 17:14

Citation :
Et comme les cofacteurs sont des combinaisons linéaires des coefficients de la matrice initiale

Non, ce ne sont pas des combinaisons linéaires, mais des polynômes à coefficients entiers en les coefficients de la matrice initiale.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 14-10-23 à 15:56

Merci beaucoup GBZM ! J'ai repris l'intégralité de l'exercice :

On a \det(M)=\pm 1\neq 0 donc M est inversible dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) avec :

M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}^tcom(M)=\pm^tcom(M)

La comatrice de M est la matrice des cofacteurs, qui sont tous des polynômes à coefficients entiers en les coefficients de la matrice M : ce sont donc tous des entiers. D'où com(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et par suite M^{-1}=\pm^tcom(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).

Par conséquent, il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tel que MM^{-1}=M^{-1}M=I_n, soit M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Je pense que c'est meilleur !

Posté par
Milka3
Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:07

Bonjour,

je dois montrer que  \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est un sous-groupe de  \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}). Par définition, je dois donc montrer que c'est une partie non vide de  \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}) stable par produit et inversion.

On a trivialement  \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z})\subset \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}) car  \mathbb{Z}\subset \mathbb{R}.
On a directement I_n\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).
Je dois montrer la stablité par inversion et j'ai du mal ici.
Pouvez-vous me donner un coup de pouce ?
Merci beaucoup !

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteur
re : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:52

Bonjour

Tu as eu toutes les indications ici: Matrice à coefficients entiers

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 16:54

salut

une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est inversible
et des inversibles dans Z yena pas beaucoup !!

je ne sais pas si ça aide mais tout de même ... et il me semble que ce n'est pas sans lien avec Matrice à coefficients entiers

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 18:18

Bonjour
n'y a-t-il pas un lien avec Matrice à coefficients entiers ?


*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Groupe linéaire à coefficients entiers 14-10-23 à 18:19

bon, OK, nous sommes 3 à nous poser la même question ...


*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Matrice à coefficients entiers 14-10-23 à 18:19

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:45

Oups, je ne pensais pas mal faire ! Navré pour la gêne occasionée

Du coup, je reprends les éléments de ce fil comme suit :
Soit M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}). Alors il existe une matrice inverse M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) vérifiant MM^{-1}=I_n.

En passant l'égalité aux déterminants, j'obtiens que det(M)det(M^{-1})=1 et donc det(M^{-1})=\pm1\neq 0 car les seuls diviseurs entiers de 1 sont \pm1.

D'où M^{-1}\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Ce qui permet effectivement de conclure.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:57

C'est insuffisant.
Mais tu avais fini le 14-10 à 15:56.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:01

Pourquoi compliquer?
la formule de la multiplication des matrices montre de toute évidence la stabilité du produit.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:02

Camélia @ 15-10-2023 à 14:57

C'est insuffisant.
Mais tu avais fini le 14-10 à 15:56.

Pour quel point ? La stabilité par inversion ou celle par produit ?

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:03

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Du coup, ceci est juste ?

Ce qui permet effectivement de conclure.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:04

Celle par produit.
Pour l'inversion il faut faire ce que tu avais fait (après moult suggestions de GBZM). Ecrire l'inverse en utilisant la comatrice.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:33

Je reprends

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:54

Il me reste à prouver la stabilité par produit. Je considère pour cela deux matrices M et N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

Montrons qu'alors MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

La matrice MN est élément de \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) pas produit dans cet anneau avec \det(MN)=\det(M)\det(N)\neq 0.

Ce qui permet effectivement de conclure.


Du coup, ceci convient, non ?
Précision : je considère M,N dans \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}). Alors det(M)\neq0 et det(N)\neq 0 et donc det(MN)\neq 0. Non ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 15:53

NON.

Le fait que le déterminant est non nul ne prouve ni que le produit est à coefficients entiers, ni que l'inverse l'est!

Essaye de regarder si GL_n(\N) est un groupe, en utilisant les mêmes raisonnements que ci-dessus!

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:34

Je vois !

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:34

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Dans ce cas, ceci convient ?

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:35

Dans ce cas, ceci convient ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 16:49

Non, tu n'as toujours rien démontré! Voilà ce que tu fais appliqué à \N

Si M\in GL_n(\N), on a det(M)det(M^{-1})=1, donc det(M)=det(N)=1.
Après, tu recopies ce que tu as écrit, et ça a l'air de marcher.

Néanmoins,

\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} est à coefficients dans \N et son déterminant est 1, mais son inverse qui est \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix} n'est pas à coefficients dans \N.

Je dois partir, médites là-dessus. Quelqu'un d'autre interviendra probablement.

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 15-10-23 à 17:00

Merci ! J'ai beaucoup mieux compris pourquoi le raisonnement avec les déterminants ne convient pas !

Mais celui ci-dessous n'en parle pas. Alors je ne vois pas l'erreur

Milka3 @ 15-10-2023 à 14:59

Sinon, pour la stabilité par produit, je peux écrire qu'il existe M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et N^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tels que MM^{-1}=I_n et NN^{-1}=I_n.

Alors le produit N^{-1}M^{-1} est dans \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) par produit dans cet anneau et vérifie MNN^{-1}M^{-1}=I_n.

Ca me semble mieux, me trompe-je ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 16-10-23 à 14:46

Tu affirmes que M est inversible dans M_n(\Z) mais tu ne le démontres jamais!

Ce que tu démontres, c'est que si M et N sont inversibles, MN l'est aussi, ce qui pourrait prouver la stabilité par produit, (ce qui se fait bien plus facilement), mais pas que les nverses sont à coefficients entiers!

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 17-10-23 à 11:51

Ok, je crois que je commence à comprendre.

Stabilité par inversion
Je considère M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) et je veux montrer qu'alors M^{-1}\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).
Je dois donc montrer que M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) et que det(M^{-1})\neq 0 .

D'une part :
si M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) alors il existe une matrice M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) tq. MM^{-1}=I_n d'où l'on tire que \det(M)=\pm 1.
On a donc M^{-1}=\pm^tcom(M)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).

D'autre part :
on tire de l'égalité MM^{-1}=I_n que \det(M^{-1})=\pm 1\neq 0.

On a donc bien la stabilité par inversion !
Est-ce mieux ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 17-10-23 à 15:08

Bien sur que c'est mieux, c'est même exactement ce qu'il fallait faire, et c'était fait depuis le début!

Je reviens un peu sur ce que j'ai écrit. On a un anneau A et un sous-anneau B. La question était de montrer que l'inverse d'une matrice à coefficients dans B, qui est inversible dans A est aussi à coefficients dans B. Maintenant tu as vu comment ça a marché pour A=\R et B=\Z. Probablement tu as vu aussi que çe n'est pas vrai si on prend A=\Z et B=\N.

Ceci étant dit, pour n'importe quel anneau, GL_n(A) (l'ensemble des matrices inversibles) est un groupe, puisque il y a au moins l'identité et que tu as surabondamment prouvé que si M et N sont inversibles, MN l'est aussi!

Est-ce plus clair?

Donc au début de ta démonstration, tu n'écris pas que tu prends M\in GL_n(\Z) mais que tu prends M\in M_n(\Z)\cap GL_n(\R] et tu prouves qu'alors M\in GL_n(\Z)

Posté par
Milka3
re : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 10:18

C'est beaucou plus clair ! Merci !

Considérons M,N\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}).

D'une part, MN est à coefficients entiers comme produit de deux matrices à coefficients entiers.

D'autre part, comme M\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) alors \det(M)=\pm 1. De même, \det(N)=\pm 1. Ainsi, \det(MN)=\pm 1\neq 0.

Finalement, on a MN\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) avec \det(MN)\neq 0, c'est-à-dire MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) : l'ensemble \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est donc stable par produit.

Posté par
GBZM
re : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 11:02

Bonjour,
Il y a des choses qiui me semblent bizarres.
Camélia @ 17-10-2023 à 15:08

Donc au début de ta démonstration, tu n'écris pas que tu prends M\in GL_n(\Z) mais que tu prends M\in M_n(\Z)\cap GL_n(\R] et tu prouves qu'alors M\in GL_n(\Z)

??? Une matrice à coefficients entiers inversible sur \mathbb R ne l'est pas forcément sur \mathbb Z.[

quote=Milka3 @ 22-10-2023 à 10:18]Finalement, on a MN\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) avec \det(MN)\neq 0, c'est-à-dire MN\in\mathcal{GL}_n(\mathbb{Z})

??? Même remarque.

Je reviens à la question initiale
Milka3 @ 14-10-2023 à 16:07

je dois montrer que  \mathcal{GL}_n(\mathbb{Z}) est un sous-groupe de  \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}).

Par définition, \mathrm{GL}_n(\mathbb Z) est un groupe, c'est le groupe des éléments inversibles de l'anneau M_n(\mathbb Z). C'est aussi un sous-ensemble de \mathrm{GL}_n(\mathbb R). Et il est clair que l'inclusion est un homomorphisme de groupes (la multiplication est la même !).
La question me semeble donc bizarre. Quelle est sa formulation exacte ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice à coefficients entiers 22-10-23 à 15:46

Rebonjour

En effet j'ai fini par écrire des bêtises, dans la confusion totale de ce topic.
Mais la question initiale (dans le tout premier post) est claire:

Soit M\in M_n(\mathbb{Z}) telle que \det(M)=\pm 1. Montrer que M\in GL_n(\mathbb{Z}).



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