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Matrice à la puissance n
Bonsoir à tous !
Voici un exercice qui me pose problème :
Soit une matrice A :
On doit étudier la limite de (quand n tend vers l'infini)
Pour résoudre cet exercice, j'ai tenté de diagonaliser la matrice A (c'est le chapitre actuel ^^).
J'ai calculé le polynôme caractéristique qui vaut :
Il n'est pas scindé sur R. Donc je ne sais pas si je dois diagonaliser en utilisant des valeurs propres complexes ? Et par la suite, comment conclure ?
Merci d'avance pour votre aide !
Bonsoir,
Une idée comme ça :
Suppose que la limite existe, appelle-la L
Elle satisfait à L.A = A.L = L
C'est une équation à 9 inconnues, mais compte-tenu du nombre de zéros dans A, c'est peut-être jouable...
NB Si ça peut t'aider vers l fin, j'ai fait tourner une petite simulation, je trouve que L existe et vaut :
1/5 1/5 1/5
2/5 2/5 2/5
2/5 2/5 2/5
Bonjour, et merci pour votre réponse.
J'ai tenté la méthode que vous préconisez, mais je me heurte à un problème. Il ressort assez rapidement des équations que les coefficients de la 1ère ligne sont égaux, et égaux à la moitié des coefficients des 2ème et 3ème lignes. Cela est confirmé par la solution que vous proposez.
Le problème est que je n'ai aucune équation qui me permette de "fixer" une valeur, car je n'ai que des relations entre les différentes inconnues (il n'y en a d'ailleurs plus que 2 désormais).
Que faire ?
Merci !
Bonjour:
Voici un exercice qui me pose problème :
Soit une matrice A :
\begin{pmatrix} 0 & 0 &1/2\\ \\ 1 & 0 &1/2\\ \\ 0 & 1 &0\\ \\ \end{pmatrix}
On doit étudier la limite de A^n (quand n tend vers l'infini)
une remarque, si j'appelle u l'endomorphisme associé.
u(e1)=e2
u(e2)=e3
e4=u(e3)=(e1+e2)/2=e1+f(e1)
cela me fait penser à une suite à valeur dans
donc si cette méthode est utilisable, il y a 3 suites à étudier puisque c'est une suite à valeur dans
Une approche serait de considérer que cette matrice est la somme des deux matrices suivantes :
A1 :
0 0 0
1 0 0
0 1 0
A2 :
0 0 1/2
0 0 1/2
0 0 0
Or les matrices A1 et A2 sont triangulaires avec des zéros sur la diagonale. Ce sont des matrices "nilpotentes", elles n'ont qu'un nombre fini de puissances non nulles : A13 = 0 et A22 = 0.
Le développement du binôme (A1+A2)n n'a donc qu'un nombre fini de termes. En recanche, attention tout de même, elles ne commutent pas, A.B 
B.A...
Merci à tous pour vos idées.
Pour répondre à LeHibou : Je ne peux pas utiliser la formule du binôme de Newton si les matrices ne commutent pas, si ? Donc comment faire ?
Bonjour,
Le plus rapide est d'utiliser le fait que A est diagonalisable sur 
car elle a 3 valeurs propres distinctes 1, et
avec
donc
.
On en déduit qu'il existe 3 matrices telles que
et que la limite de
est égale à
.
De ,
et
on déduit, puisque
et
sont les racines de
:
d'où
.
Effectivement, ce n'est pas si simple...
Une autre idée : trouver un vecteur propre assiocié à la valeur propre 1, le compléter par deux aautres vecteurs pour faire une base. Dans cette base, les matrice de A et de toutes ses puissances seront de la forme :
1 0 0
0 
0 
Et on doit trouver la limite des puissances d'une matrice 2x2, ce qui est nettement plus simple. En appelant B la matrice carrée 2x2, on a grâce au théorème de Cailey-Hamilton une relation de la forme
Bn = anB + bnI
Et il faut établir les récurrences et trouver les limites des suites an et bn. A la fin, on fait le changement de base inverse.
En choisissant "intelligemment" les deux vecteurs qui vont compléter le vecteur propre, on peut certainement arriver à une forme simple de B.
En tout cas, c'est une piste à explorer, et elle est dans l'esprit de ce que vous étudiez en ce moment...
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