La matrice n'est donc pas diagonalisable sur puisque le discriminant est négatif.

Certes, mais rien ne t'empêche de considérer A comme une matrice à coefficients, complexes, faire ton calcul et te souvenir ensuite qu'elle est en fai tà coefficients réels
Ici le polynôme caractéristique est de discriminant non nul, donc scindé simple

salut

pour ta deuxième méthode : où I est la matrice unité

calculer les puissances de J et remarquer que

conclure en calculant à l'aide du binôme de Newton puisqu'évidemment I et J commutent ...

il faudra évidemment considérer n modulo 4


autre méthode en considérant   :

alors P(A) = 0 donc   donc

on généralise en introduisant les suites puis relation de récurrence des suites puis expressions des suites en fonction de n :

  donc

donc

Il faut quand même justifier que implique u = v = 0 pour ta deuxième méthode, sinon tu ne peux pas identifier les coefficients pour établir la relation de récurrence

Le plus simple est de l'écrire : . Là, on peut identifier les coefficients et dire (diagonale montante) que u = 0 et donc v = 3u+v = 0 aussi.

On peut aussi produire deux égalités, par exemple en passant à la trace, et montrer que le système admet une unique solution qui est 0

il est raisonnablement évident que A n'est pas multiple de I, tout de même ...

Merci pour vos réponses ^^

de rien