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matrice adjointe
bonjour tt le monde, voici deux questions d'algebre :
1. quelle est la différence entre une matrice adjointe et une matrice transposée ?
2. pk la norme deux de la matrice A est egale au rayon spectrale de la matrice A fois sa matrice transposée ?
merci.
En algèbre linéaire, une matrice adjointe d'une matrice sur les complexes dénotée M est la matrice transposée de la comatrice de M. La matrice adjointe est dénotée M * , mais il peut aussi arriver de renconter MH. Le terme de « matrice adjointe » est utilisé par le logiciel Maple, mais on préfère les termes « comatrice » ou « matrice des cofacteurs », bien qu'une confusion existe avec l'étape de transposition.
En algèbre linéaire, une matrice adjointe d'une matrice sur les complexes dénotée M est la matrice transposée de la comatrice de M. La matrice adjointe est dénotée M * , mais il peut aussi arriver de renconter MH. Le terme de « matrice adjointe » est utilisé par le logiciel Maple, mais on préfère les termes « comatrice » ou « matrice des cofacteurs », bien qu'une confusion existe avec l'étape de transposition.
Oui, c'est bien ce que Wikipédia donne !
2. pk la norme deux de la matrice A est egale au rayon spectrale de la matrice A fois sa matrice transposée ?
Soit u l'endomorphisme représenté par A dans la base canonique:
1 - Par Cauchy-Schwarz
||u(x)||2 = (u(x)|u(x)) = ((u*o u)(x)|x)
donc ||u||2
par symétrie de l'adjoint, on a ||u||=||u*|| donc ||u||2
2 - Soit v un endomorphisme symétrique. Il existe une base B orthonormée dans laquelle la matrice de v est diagonale , notée (
Pour tout vecteur x noté (xi),
3 - Revenons au paragraphe 1:
(u* o u) est un endomorphisme autoadjoint (facile!) et positif :
Pour tout vecteur x,on a: x* u* u x = (ux)*. ux = ||ux||2 donc pour un vecteur propre vi de (u* o u), ce nombre positif est égal à
Concluons: ||u|| = (||u||2)1/2 = (||u* o u||)1/2 = (Max |
i|)1/2 avec Sauf erreur.
Remarque que dans ta question, il manque la racine carrée (du rayon spectral).
bonsoir jeanseb,
merci bcp pour ta démonstration, c'est exactement ce que je cherchais.
bonne soirée.
bonjour jeanseb,
j'aurais une petite question si possible :
a la premiere ligne ||u(x)||2 = (u(x)|u(x)) = ((u*o u)(x)|x) 
||u* o u(x)||.||x||
||u* o u|| ||x||2
je ne comprends pas trop comment on passe de ||u* o u(x)||.||x|| à ||u* o u|| ||x||2 ?
d'autant que j'ai un exercice ou on me demande de prouver que ||A|| au carré EST EGALE à ||A*A||, tout ça à la norme deux.
merci pour votre aide.
Bonsoir simpson
||u* o u(x)|| est la norme d'un vecteur.
Or, par définition de la norme d'un endomorphisme v, qui est le Sup , on a:
||u* o u||
et tu n'as plus qu'à multiplier par ||x||2 des deux côtés.
Petite remarque: (Max |i|)1/2 est en fait (Max
i)1/2 car:
- les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont toutes réelles (théorème spectral)
- ces valeurs propres sont positives (démonstration au 3) de mon topic.
A+ 
Bonsoir jeanseb,
Merci beaucoup pour la réponse, ça m'a éclairé.
J'aurais d'autres petites questions (si cela ne t'embête pas bien sur) :
1. quand on dit la norme de la matrice A ou la norme de l'endomorphisme u, sa notation est bien : ||A||, ||u|| ou bien c'est avec trois |||A|||, |||u||| cela signifie-t-il la même chose ou pas ? si oui qui est le plus rigoureux ?
2. est-ce que je peux penser que la norme infinie d'une matrice est égale à la somme la plus grande des termes de la même ligne et peut on dire que la norme un c'est la somme la plus grande des termes de la meme colonne ? dans ce cas que peut on dire de la norme deux, alors ?
merci et bonne soirée.
Bonjour
1 - Les deux notations existent. J'ai le plus souvent rencontré la notation |||u||| qui a l'avantage d'indiquer clairement dans quel espace on est, mais le livre que j'ai sous le yeux (Tout-en-un de Deschamps) écrit ||u||. Donc aucune différence.
2 -
est-ce que je peux penser
Tu peux le penser, mais surtout tu dois savoir que cela se démontre! (voire connaitre la démonstration)
. Ce que tu dis est exact.
dans ce cas que peut on dire de la norme deux, alors ?
Tout simplement ce que tu as démontré dans ton topic: c'est Max(
A+ et bonne journée.
Bonsoir jeanseb(dsl de répondre maintenant j'étais absent c'est derniers jours !)
Merci bcp pour ta réponse.
citation :
"la valeur absolue de la plus grande valeur propre de la matrice"
Là je ne suis pas sûr d'etre daccord, moi j'aurais dit :la racine de la plus grande valeur propre de la matrice A*A, non ?
Merci et bonne soirée.
la racine de la plus grande valeur propre de la matrice A*A,
Bien sûr , c'est ça exactement.
Mais pour se le représenter concrètement, je propose une représentation que je sais inexacte, mais qui a l'avantage d'être géométrique. C'est juste une proposition...
A+
salut jeanseb,
merci pour la réponse, oui je vois parfaitement !
bonne soirée !
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