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matrice d'un projecteur
Bonjour,
je travaille sur un problème portant sur la propriété suivante de la comatrice :
com(MN)=com(M)com(N) où M et N sont deux matrices.
Une des questions me pose probleme :
Si M est la matrice d'un projecteur, que peut on dire sur com(M) ?
Puis on me demande de calculer Det(A-z*In) où A est la matrice d'un projecteur p de rang n-1 en considérant une base formée de vecteurs de Ker p et de Im P.
Merci pour votre aide.
En considérant une base formée de vecteurs de Im P et de Ker p , la matrice est diagonale, avec sur la diagonale des 1 en nombre (rang de p) et des 0 pour le reste.
Car dans Imp, p(x) = x
dans Ker p, p(x) = 0
la dernière colonne de la matrice obtenue avec une base formée de Im p et Ker P ne pocède que des 0 n'est-ce pas?
A est la matrice d'un projecteur p de rang n-1
Pour mon 1er post: il y a (n-1) nombres 1 et un 0 sur la diagonale de A.
donc: det (A-z In)= (1-z)(n-1) * (-z)
c'est donc ça...... Merci beaucoup jeanseb. Juste une petite chose : vu que M est la matrice d'un projecteur p et que p^2=p on peut écrire que M^2=M et c'est en appliquant la comatrice et en utilisant la propriété que l'on trouve le résultat que vous m'avez donné ?
com(MN)= com(M)com(N) où M et N sont deux matrices.
Ceci est valable pour tout matrice.
Appelons P la matrice d'un projecteur p
puisque p2 = p , on a P 2 = P
donc en remplaçant dans la relation citée, com (P.P) = com P . com P
soit com( p2) = (com P)2
or P 2 = P
donc com P = (com P)2
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