Bonjour lechoriste

Attention, E est un espace vectoriel de dimension 4 et sa base canonique est .

Kaiser

Bonjour.
1) Tu es dans l'espace des polynômes de degré 3 au maximum. Un élément de cet espace s'écrit donc :
. Ceci te permet d'observer deux choses :
* tu as quatre variables avec
* tu as quatre polynômes de base :
Dans l'énoncé, c'est de cette base dont on parle. Tu dois donc chercher les images de ces quatre polynômes de base par l'endomorphisme f.
f(1) = 1"+ X(1)' - 2x1 = -2. Donc f(1) = (-2,0,0,0)
f(X) = X" + X(X)' - 2X = -X. Donc f(X) = (0,-1,0,0)
f(X²) = ...
f(X^3) = ...
Tu n'as plus qu'à écrire les coordonnées de ces quatre images en colonnes. Tu obtiendras la matrice d'ordre 4 de f dans la base canonique.
Cordialement RR.

ah oui autant pour moi, j'étais parti sur un changement de base que je fais d'habitude , je fais ca et je vous donne mes résultats.

On a :
f(1) = (-2,0,0,0)
f(X) = (0,-1,0,0)
f(X²) = 2 donc f(X²)=(2,0,0,0)
f(X^3) = 6X donc f(X^3)=(0,6,0,0).

On a donc la matrice A :


code de la matrice : 4$A=\(\array{-2&0&2&0\\0&-1&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0}\)

Est-ce juste?

Je suis d'accord avec toi pour les 3 premières colonnes.
Par contre, pour la dernière, il me semble que l'on a .

Kaiser

Pour éviter le latex, je te donne mes résultats en ligne.
1 ---> -2, donc (-2,0,0,0)
X ---> -X, donc (0,-1,0,0)
X² ---> 2, donc (2,0,0,0)
X^3 ---> 6X + X^3, donc (0,6,0,1)
Sauf erreur de ma part, il y a donc un petit problème au niveau de ta 4ème colonne.
Peux-tu vérifier ?
Cordialement RR.

oui c'est exact j'ai fait une petite erreur d'indice .
Donc la matrice est bien :

après pour trouver l'image et le noyau, je compte réécrire ma matrice pour avoir un système d'équations et ainsi je pourrais trouver une base de l'image et du noyau de A.
Est-ce la bonne méthode?

Qu'entends-tu par "réécrire ma matrice" ?

enfin je me suis mal exprimé, mais je veux traduire ma matrice par un système d'équations.
Par exemple pour trouver le noyau, je pourrais écrire le système suivant :
-2x + 2z =0
-y + 6t = 0
t = 0

Bonjour;
Pour determiner tu peux remarquer que et donc que et vu que on voit que Sauf erreurs...

Oui, pour trouver le noyau tu fais ça !

bonjour, elhor_abdelali, mais que réprésente R(1+X²)? , s'agit-il de l'ensemble des polynômes de la forme 1+X²?

elhor semble déconnecté : je me permets donc de te répondre.

d'accord j'ai compris, c'est donc les polynômes qui sont de cette forme.
Par contre je viens de calculer la base de mon noyau :
Je suis parti de mon système :
-2x + 2z =0
-y + 6t = 0
t = 0
donc ce dernier équivaut à dire que -2x + 2z =0, donc que x=z.
Donc finalement j'ai comme base de ker(g) {(1,0,1,0)}, ce qui semblerait être en accord avec le résultat de elhor_abdelali.

C'est bien ça !

Oui lechoriste c'est exactement ce qu'a écrit Kaiser,on a l'habitude dans un -espace vectoriel de noter la droite vectorielle engendrée par le vecteur c'est à dire l'ensemble ici on a

Par contre je bloque pour trouver la base de l'image de A.
J'ai posé le système suivant :
-2x + 2z = x'
-y + 6t = y'
t = t'

Je ne pense pas qu'on puisse plus échelonné le système que ca mais je ne trouve pas ma base

On a vu précédemment que le noyau était de dimension 1, donc d'après le théorème du rang, l'image est de dimension 3.
Il suffit alors de regarder la matrice pour trouver 3 vecteurs de l'image qui sont linéairement indépendants.

Tu peux aussi dire,vu que et que la famille est libre , que et donc que la famille est une base de c'est à dire aprés simplification Sauf erreurs...

Ok je comprends, j'ai pas trop vu encore en cours le détail sur les matrices mais je connais le théorème du rang et je comprend la démarche à suivre. Merci

je voudrais juste encore une petite précision ^^,
on me demandait de trouver les bases de l'image et du noyau de A.
Pour la base du noyau de A, on a Ker(A)=(1+X²).
Pour la base de l'image de A, on a Im(A)=(1,X,X³).

Mais ces bases sont-elles les mêmes que les bases de l'image et du noyau de f, car je vois elhor_abdelali qui parle de Im(f) et Ker(f) mais je voulais savoir si les bases de A et f sont les mêmes.

Merci beaucoup

Oui lechoriste , l'image (resp le noyau) d'un endomorphisme de est aussi l'image (resp le noyau) de sa matrice relativement à n'importe quelle base de