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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrice de passage - 2 méthodes

Posté par
Fractal
09-06-13 à 19:19

Bonjour,

J'ai un vrai problème sur un exercice et sa correction.

On me donne dans \R^4 2 bases (e) et (e') définies par :

e_1=(1,0,0,1)
e_2=(1,1,1,1)
e_3=(1,0,1,0)
e_4=(0,0,1,0)

et

e'_1=(1,0,0,1)
e'_2=(2,1,2,1)
e'_3=(1,2,1,2)
e'_4=(0,1,0,0)

On cherche à écrire la matrice de passage ente les bases (e) et (e').

La correction indique ceci :

e'_1=e_1
e'_2=e_2+e_3
e'_3=2e_2-e_3
e'_4=-e_1+e_2-e_4


D'où la matrce de passage :

P_{(e)\to(e')}=\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\ 
 \\ 0&1&2&1\\ 
 \\ 0&1&-1&0\\
 \\ 0&0&0&-1\\ 
 \\ \end{pmatrix}

Donc ok là-dessus, je comprends la méthode.

Mon souci se situe ci-dessous, car j'ai fait ainsi :

Je nomme E' la matrice ayant pour colonnes les vecteurs de la base (e') (et E la matrice ayant pour colonnes les vecteurs de la base (e)), j'ai donc :

E'=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 
 \\ 0&1&2&1\\ 
 \\ 0&2&1&0\\
 \\ 1&1&2&0\\ 
 \\ \end{pmatrix}

Je calcule à présent l'inverse de E' :

E'^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\ 
 \\ \frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\ 
 \\ -\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
 \\ 1&1&-1&-1\\ 
 \\ \end{pmatrix}

A présent, je fais P_{(e)\to(e')}=E'^{-1}.E, et je devrais retrouver la même matrice de passage :

P_{(e)\to(e')}=E'^{-1}.E=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\ 
 \\ \frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\ 
 \\ -\frac{2}{3}&0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
 \\ 1&1&-1&-1\\ 
 \\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 
 \\ 0&1&0&0\\ 
 \\ 0&1&1&1\\
 \\ 1&1&0&0\\ 
 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\ 
 \\ 0&1&2&1\\ 
 \\ 0&1&-1&\red{1}\\
 \\ 0&0&0&-1\\ 
 \\ \end{pmatrix}

J'ai vérifié avec des calculatrice de matrices en ligne, et il n'y a rien à faire, j'ai toujours ce 1 de la 3ème ligne qui diffère du 0 de la première méthode.

J'ai refais le "truc" plusieurs fois et il n'y a rien à faire, ça diffère toujours.

Quelqu'un pourrait-il m'apporter ses lumières svp ?

Merci

Posté par
GaBuZoMeu
re : Matrice de passage - 2 méthodes 09-06-13 à 20:16

Ta multiplication est visiblement fausse, et je te laisse méditer là-dessus :

Matrice de passage - 2 méthodes

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 10-06-13 à 07:40

Ah ...... Je te remercie.

Hummm ...... manifestement, on n'a pas la même matrice inverse.

Je vais refaire une nouvelle fois ce calcul en repartant de 0.

Merci de m'avoir mis sur la piste, je vous tiens au courant.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Matrice de passage - 2 méthodes 10-06-13 à 08:10

Le problème n'est pas au niveau du calcul de l'inverse. Mais
1°) Il y a un problème dans ton calcul du produit F^{-1}\,E ( je note F ce que tu notes E' pour plus de lisibilité et pour coller avec ma feuille Maple).
2°) Il y a un problème de méthode dans ce que tu fais. Regarde mieux les résultats de la feuille de calcul, en particulier la dernière matrice calculée.

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 10-06-13 à 10:34

Aie ! Me voilà perdu.
Bon, je te remercie, il faut que je regarde tout cela en détail et riposterai.
Merci beaucoup de ton aide.

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 11-06-13 à 06:35

Bon, manifestement il y a plusieurs erreurs dans ce que j'ai fait.
Hormis les erreurs de calcul qu'il y a sûrement, car en faisant les 2 produits comme toi je retombe bien sur tes résultats (avec une calculatrice).

Je pense faire une confusion, j'étais parti pour la matrice de passage de E à F sur :

P_{E\to F}=F^{-1}.E

Or, il semblerait bien que ce soit plutôt :

P_{E\to F}=E^{-1}.F

Me trompe-je ?

Merci

Posté par
GaBuZoMeu
re : Matrice de passage - 2 méthodes 11-06-13 à 08:59

On se perd facilement là-dedans. Ma façon de m'y retrouver : la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle base donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ; c'est contra(va)riant, mais c'est comme ça, et une fois qu'on s'est mis ça dans la tête on est sorti d'affaire.

Notons X le vecteur colonne des coordonnées dans la base canonique, Y dans la base (e), Z dans la base (e'). Notons E la matrice de passage de la base canonique à la base (e), F de la base canonique à la base (e') et G de la base (e) à la base (e').

On a X=EY, X=FZ et Y=GZ. D'où l'on voit que F=EG, et G=E^{-1}\,F.

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 12-06-13 à 07:28

Hummmm ..... Intéressant ce que tu m'ecris là, je vais regarder cela de très près.

Oui on s'y perd facilement, et voilà bientôt 2 ans que je n'ai pas fait d'algèbre linéaire.
Je vais reprendre cela en profondeur, il n'est pas acceptable de continuer plus loin avec un tel flottement.

Merci vraiment beaucoup de ton aide ( malgré mes connexions espacées en cette période).
On va me revoir pour d'autres questions très certainement bientôt, mais je vais déjà assimiler tes conseils.

A très bientôt.

Posté par
frenicle
re : Matrice de passage - 2 méthodes 12-06-13 à 10:01

>GaBuZoMeu

Citation :
c'est contra(va)riant, mais c'est comme ça


Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 16:38

Après relecture, la remarque de mon post Posté le 11-06-13 à 06:35 est inexacte.

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 16:50

Arglllllll .... 1 an après je suis tombé dans le même panneau.

C'est bien P_{E\to F}=E^{-1}.F

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 17:34

Bonjour

normal : E va de la canonique à (e), donc E^{-1} ira de (e) à la canonique
et F va de la canonique à (e')
comme tu veux aller de (e) à (e'), en faisant le détour par la canonique, tu multiplies E^{-1} par F ...

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 17:39

Je m'y perds ......

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 17:40

Qu'entends-tu stp par "aller de la canonique à (e)" ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 17:43

les deux matrices que tu as écrites (E et F) sont les matrices de passage de la base canonique aux bases (e) (pour E) et (e') (pour F)

Posté par
carpediem
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 19:02

salut

il suffit de faire un diagramme sagittal ....

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 19:11

Lafol : "de la base canonique à la base (e)" ?

Diagramme sagittal : Comment fais-tu cela Carpediem ?

Posté par
carpediem
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 19:20

trois patates qui représentent les bases canoniques c, e et f

une flèche de c à e qui représente l'application linéaire qui transforme c en e et dont la matrice de passage est E
une flèche de c à f qui représente l'application linéaire qui transforme c en f et dont la matrice de passage est F

et pour passer de e à f ou de f à e on passe par c

donc e --> c --> f se traduit matriciellement par E-1F

....

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 07-07-14 à 19:36

Bon, je vais regarder ça question potatoes

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 08:09

Carpediem,

J'ai (presque) compris ton "astuce".
J'ai besoin de répondre à une interrogation qui point à la lumière de tes éléments.

Faut-il entendre que l'application linéaire qui transforme c en e,
et celle qui transforme c en f,
ne sont pas les mêmes ?

c, e et f sont des bases canoniques, soit, mais donc des bases canoniques du même ensemble (du même espace vectoriel), on est bien d'accord ?

Mais si on parle du même espace, je pensais qu'une base dite canonique s'écrivait que d'une seule façon :
((1,0,0,...),(0,1,0,...), ..... ,(0,0,...,1))

Ou alors voulais-tu dire : 3 patates qui représentent c la base canonique et e et f les 2 autres bases ?

Là je comprendrais mieux,mais comme je sais que dans tes remarques rien n'est jamais laissé au hasard ......

Peux-tu m'aider s'il te plaît ?

Posté par
carpediem
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 10:16

il n'y a "qu'une" base canonique !!!

dans R3 ::

le triplet (x, y, z) s'écrit x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(1, 0, 0)

on appelle base canonique le triplet de vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0 , 1)

maintenant si (u, v, w) est une autre base alors trivialement u = 1u + 0v + 0w = (1, 0, 0) dans cette base !!!

mais u n'est pas forcément égal à (1, 0, 0) dans la base canonique !!!


e et f sont deux autres bases distinctes de la base canonique !!!

soit (ci), (ei) et (fi) ces trois bases

une patate pour l'ensemble des ci
une patate pour l'ensemble des ei
une patate pour l'ensemble des fi

....

Posté par
carpediem
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 10:17

donc les applications linéaires qui transforment c en e et c en f ne sont pas les mêmes si e et f sont distinctes ....

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 12:05

Carpediem,

Je m'aperçois de plus en plus que quand on prend bien le temps de lire (de comprendre) tes réponses, celles-ci s'avèrent toujours extrêmement pertinentes.

Merci beaucoup, vraiment beaucoup.

Posté par
carpediem
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 13:30

de rien et au plaisir

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 13:37

Merci aussi Lafol.

Dès que j'aurai accès à de quoi dessiner sur l'ordi, j'essayerais de mettre en image la patatoïde en question.

Posté par
flight
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 16:01

salut

sans passer par la manipulation de matrices on peut aussi faire avec

e1 = i + t
e2 = i + j + k + t
e3 = i + k
e4 = k


e1' = i + t
e2' = 2i + j + 2k + t
e3' = i + 2j + k + 2t
e4' = j


soit

e1' = e1.

e2' = e2 + e3.

e3' = e3 + 2.(j + t) = e3 + 2.(e2 - e3) = 2e2 - e3.

e4' = j   comme  j = e2 - ( i + k + t)  alors  e4 + j = e2 - (i+k+t) + k  = e2 -(i+t) = e2 - e1  et donc

j = -e1 + e2 -e4

et e4' = -e1 + e2 -e4

Posté par
Fractal
re : Matrice de passage - 2 méthodes 08-07-14 à 16:23

Oui, comme dans la correction, c'est exact quant à la méthode.
Je te remercie.



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