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Niveau maths spé
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matrice de permutation

Posté par
Yosh2
06-07-22 à 17:31

Bonjour
Pourriez vous m'aider pour l'exo suivant
B=(e1,...,en) une base de C^n , H l'hyperplan d'equation x1+...+xn = 0
Pour toute permutation \sigma \in S_n on considere l'endo f_{\sigma} tq f_{\sigma}(e_i) = e_{\sigma(i)}
Soit P l'endo canoniquement asssocie a la matrice (\dfrac{1}{n})_{i,j}

1/ Mq que P est un projecteur . determiner son image et son noyau
2/ soit u non nul dans H . Mq H = Vect(f_{\sigma}(u) , \sigma \in S_n)
3/ quels sont les endo qui commutent avec f_{\sigma}. (utiliser P)

1/ j'ai montre que P^2 = P et j'a trouve ker(P) = H et Im(P) = Vect( (1,1,...,1) )
2/ je l'ai montre par double inclusion
3/ je bloque des le départ , je ne vois comment exploiter P de facon pertinente

merci

Posté par
GBZM
re : matrice de permutation 06-07-22 à 17:46

Bonjour,

On te demande les endomorphismes qui commutent avec un f_\sigma particulier ou ceux qui commutent avec tous les f_\sigma ?

Posté par
Yosh2
re : matrice de permutation 06-07-22 à 17:52

justement j'avais bien un doute sur cette question ( je n'ai plus l'enonce devant moi ) je crois peut etre que c'etait avec toutes les \sigma . Dans le doute j'ai prefere ecrire f_{\sigma} quelconque , car le deuxieme cas s'en deduirait de ce dernier .

Posté par
GBZM
re : matrice de permutation 06-07-22 à 18:19

Retrouve l'énoncé exact. Suivant la formulation, ce n'est pas du tout la même question ! Ce n'est pas raisonnable de travailler sur un exo dont on ne connaît pas l'énoncé exact.
Il est plus vraisemblable qu'on demande de commuter avec tous les f_\sigma

Posté par
Yosh2
re : matrice de permutation 06-07-22 à 18:36

l'enonce m'a ete presente a l'oral par une personne avec laquelle je n'ai pas de contact . Je ne peux plus retouver l'enonce exacte .
Puisque vous pensez qu' ' Il est plus vraisemblable qu'on demande de commuter avec tous les f_\sigma ' , supposons que c'est ca  , ca me semble cohérent avec mes souvenirs .

Posté par
GBZM
re : matrice de permutation 06-07-22 à 21:22

As-tu une idée sur ce que tu dois trouver (une étude en petite dimension peut guider).

Posté par
Yosh2
re : matrice de permutation 07-07-22 à 16:37

Bonjour
je vais proceder matriciellement .
en dimension 2 , l'ensemble des matrices des  f_\sigma  est
{ I_2 , ( 0  1 ) }
            (1   0 )
et la je trouve que les matrices qui commutent avec cet ensemble sont dans le Vect de ce meme ensemble . j'ai donc commence a croire que le commutant etait les polynomes en
( 0  1 )
(1   0 )

mais je pensais que ceci ne pouvait pas se generaliser en dimension quelconque et que c'etait surement une simple curiosite de la dim 2
ensuite j'ai essaye d'ecrire la formule generale du produit matricielle
en posant M=(m_i,j) une matrice qui commutent avec toutes les matrices de permutations je trouve que pour tout i et i m_{i,\sigma(j)} = m_{\sigma^{-1}(i),j} pour toute \sigma et la il me semble que cette formule ne peut etre verifie que si m_i,j ne depend pas de i et j et donc M = \lambda P
je ne sais pas si on peut dire quelque chose de particulier sur les endo associe a M a part que c'est la compose d'un projecteur et d'une homothetie .

Posté par
GBZM
re : matrice de permutation 07-07-22 à 17:02

Citation :
il me semble que cette formule ne peut etre verifie que si m_i,j ne depend pas de i et j

Il te semble à tort. Regarde mieux. Pose k=\sigma^{-1}(i), ça t'aidera peut-être à voir.

Posté par
Yosh2
re : matrice de permutation 07-07-22 à 17:23

dans ce cas la on trouve que \forall k,j \in [1,n] \forall \sigma \in S_n \ m_{\sigma(k),\sigma(j)} = m_{k,j}
et la je dirais que M est de la forme m_{i,i} = \alpha et \forall i \neq j \ m_{i,j}  = \beta

Posté par
GBZM
re : matrice de permutation 07-07-22 à 17:54

Tu peux donner une expression de ces matrices en utilisant P.



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