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matrice de projecteur orthogonal
Bonsoir,
c'est pour savoir si ma résolution convient ou si elle est insuffisante.
L'énoncé est :
Soit E un espace euclidien, U une base orthonormale quelconque de E et f un endomorphisme de E. On note A la matrice de f dans U. Montrer que f est un projecteur orthogonal de E si et seulement si A^2 = A et transposée(A)=A.
dans une question précédente j'ai montré que fof=f si f est un projecteur orthogonal, donc comme A est une (la?, je ne sais pas si c'est important comme nuance) matrice associée à f, on a bien A^2 = A.
On a également montré que si f est un projecteur orthogonal lors f est auto-adjoint, ainsi on obtient : transposée(A)=A.
Merci
Il me semble que tu n'as traité que le sens f est un projecteur orthogonal 
A^2 = A et transposée(A)=A, et pas l'autre sens nécessaire à l'équivalence (qui me semble plus difficile à démontrer 
)
Remarque non les mêmes arguments doivent fonctionner aussi dans l'autre sens... Des endomorphismes auto-adjoints f tels que fof=id, il ne doit pas y en avoir des tonnes. Vais Google-iser un peu pour être sûre 
A^2 = A et transposée(A)=A p projecteur et p auto-adjoint. Ce qu'il reste à montrer, apparemment, c'est que p est un projecteur orthogonal (ie Ker(p)=Im(p)-orthogonal) Ça doit pas être très difficile à montrer, ça
Bonjour
comme A est une (la?, je ne sais pas si c'est important comme nuance) matrice associée à f
si tu ne précises pas dans quelle base tu écris cette matrice, c'est une matrice de f.
Si il est précisé quelque part que toutes les matrices seront données relativement à une certaine base, ça devient la matrice de f dans cette base
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