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Matrice de rang 1
Bonjour,
Voici le (court) énoncé d'un exercice qui me pose problème.
Soit n>2 et A une matrice carrée d'ordre n de rang 1. Montrer que A+In ou A-In est inversible.
J'ai vraiment aucune idée mais j'imagine qu'il faut travailler sur le rang de ces matrices qui doit donc valoir n. Faut-il travailler sur la liberté des familles constituées des vecteurs colonnes ? Utiliser une autre caractérisation de l'inversibilité ?
Bonjour ,
Je crois qu'il suffit de montrer que l'un des deux ( 1 ou -1) n'est pas valeur propre de A .
En effet, les matrices de rang 1 ont beaucoups de particularités .
On a rg A = 1 ===> par le théorème du rang , dim ker A = n-1
0 est donc valeur propre de multiplicité n-1 dans le polynome caractéristique qu'on va noter P. puisque deg P = n ( d'après le cours ) , donc P est de la forme P = X^(n-1) ( X- a )
avec a appartient au corps K ( R ou C ) et a valeur propre .
et puisqu'il n'ya qu'une seule valeur propre différente de 0 , alors soit 1 soit -1 n'est pas valeur propre donc A+In ou A-In est injectif , d'ou inversible ...
Salut hiimgosu,
Effectivement, ça m'a l'air vraiment pas mal. Tout se joue en fait sur le "ou". J'ai longtemps pensé que c'était "et".
En tout cas merci pour cette aide précieuse !
Bonne journée.
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