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matrice de transition d'ordre 4
Posté par Augustin01
Bonjour,
pour un travail en groupe nous avons imaginé un graphe probabiliste d'ordre 4 duquel nous avons trouvé la matrice de transition M (4 lignes, 4 colonnes)
J'ai deux problèmes :
-Tout d'abord je voudrais savoir si il est possible de trouver la matrice M^n, j'ai beaucoup cherché sur internet et je n'ai rien trouvé sur des grandes matrices comme celle-ci.
-Ensuite, je veux calculer l'état stable de ma matrice A (j'ai donc calculé A*M=A) avec A=(a b c d) j'obtiens donc un système que j'ai rentré sur l'ordinateur pour trouver mes 4 solutions. Mais, aucune solutions n'a été trouvé, j'en ai donc conclu que ce graphe probabiliste n'avait pas d'état stable.
Cependant, en réalisant les calcul à la calculette : An = A*M^n
A partir de n=9 le résultat est toujours le même. j'ai donc envie d'en déduire qu'il y a un état stable mais j'ai donc deux conclusions contradictoires.
Merci d'avance
Voici l'état initial de mon graphe avec la matrice A1 = (1.23 1.12 0.83 0.95)
et ma matrice de transition M :
lionel52 @ 13-05-2020 à 14:53
***Bonjour***
C'est pas plutot MA que tu dois calculer?
***Bonjour***
C'est pas plutot MA que tu dois calculer?
Bonjour,
c'est bien A = A*M avec A = (a b c d) et donc a+b+c+d =1
a, b, c, d à déterminer
j'obtiens donc un systeme de 5 équations à 4 inconnues (4 équations issues de a matrice et a+b+c+d = 1)
Ok
Pour calculer M^n tu peux diagonaliser M 
On remarque que :
équivaut à
Et puisque 1 est valeur propre de M, 1 est aussi valeur propre de .
Et pour un bon vecteur propre :
Citation :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=transpose%28%5B%5B0.02%2C0.65%2C0.08%2C0.25%5D%2C%5B0.03%2C0.76%2C0.04%2C0.17%5D%2C%5B0.12%2C0.79%2C0.01%2C0.08%5D%2C%5B0.03%2C0.8%2C0.04%2C0.13%5D%5D%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=transpose%28%5B%5B0.02%2C0.65%2C0.08%2C0.25%5D%2C%5B0.03%2C0.76%2C0.04%2C0.17%5D%2C%5B0.12%2C0.79%2C0.01%2C0.08%5D%2C%5B0.03%2C0.8%2C0.04%2C0.13%5D%5D%29
Avec
Et 1 est valeur propre de M évidente parce que la somme des lignes vaut 1 donc le vecteur colonne [1,1,1,1] est trivialement un vecteur propre de M de valeur propre 1
Bonjour,
Pour l'état stable, c'est un vecteur propre à gauche (vecteur ligne) qu'il nous faut, effectivement une solution de . Mais ce système linéaire homogène est de rang 3 (puisque, comme pour toute matrice stochastique, 1 est valeur propre de
). Donc tu as en fait toute une droite vectorielle de solutions. Il faut que tu ajoutes la condition
à ton système. Essaie avec ça, et tu auras bien une solution unique.
J'ai supposé (et pas vérifié) que est bien de rang 3, autrement dit que 1 est valeur propre de multiplicité 1. Si ce n'est pas le cas, ça se complique.
salut
Citation :
Cependant, en réalisant les calcul à la calculette : An = A*M^n
A partir de n=9 le résultat est toujours le même.
et les erreurs d'arrondis ?
Cependant, en réalisant les calcul à la calculette : An = A*M^n
A partir de n=9 le résultat est toujours le même.
d'autant plus quand le vois les les valeurs que lionel52 nous sort ...
Carpediem, as-tu fait les calculs (avec la précision d'une calculette) pour vérifier si oui ou non la suite des stationne à partir de
?
Je ne l'ai pas fait, mais ça ne me semble pas invraisemblable. Alors, pourquoi ton intervention ?
En relisant, j'ai vu que tu avais déjà mis l'équation a+b+c+d=1.
Je vais vérifier ce qui se passe.
Par ailleurs il y a un bug : ton état initial ne vérifie pas la condition a+b+c+d=1.
certes je ne dis pas le contraire ... puisqu'on sait que 1 est valeur propre ... quand on le sait
je dis simplement que la valeur "stationnaire" obtenue par arrondi "grossier" peut être elle-même très grossière ... d'autant plus que dans son post Augustin01 parle de résultats contradictoires ...
(et qu'ne conclusion il va falloir faire une démonstration rigoureuse) ...
Les résultats généraux sur les matrices stochastiques (je pense que Augustin 01 les connaît) montrent qu'il y a au moins un état stable.
J'ai fait un calcul avec Sagemath, pour le système de 5 équations linéaires à 4 inconnues. Quand on fait un calcul exact sur les rationnels, pas de problème pour trouver la solution :
(345/10367, 823769/1078168, 416/10367, 175255/1078168)
Par contre si on fait le calcul sur les flottants, Sagemath ne trouve pas de solution à ce système surdéterminé (à cause de la surdétermination et des calculs en flottants, qui ne sont donc pas exacts). Par contre, on peut, puisqu'on sait que la matrice est de rang 3, supprimer une de ses colonnes (par exemple la dernière). On n'a plus alors qu'un système de 4 équations à 4 inconnues, et SageMath trouve la solution :
(0.0332786727114884, 0.764045120983001, 0.0401273270955918, 0.162548879209919) à comparer avec la solution exacte ci-dessus, traduite en flottants :
(0.0332786727114884, 0.764045120983001, 0.0401273270955918, 0.162548879209919)
Ça colle bien.
Maintenant regardons ce qui se passe en itérant à partir de l'état initial donné par Augustin, normalisé pour que la somme des composantes fasse bien 1. Au bout de 9 itérations, on trouve
(0.0332786727128657, 0.764045120987304, 0.0401273270946259, 0.162548879205204)
suffisamment proche de l'état stable pour qu'avec la précision de la calculette, on n'en bouge plus.