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Niveau école ingénieur
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Matrice : déterminant et diagonalisable

Posté par
lyceen
01-12-18 à 19:26

Bonsoir,

Je me perds dans mes révisions pour un DS dans quelques jours sur les matrices. Je voudrais savoir s'il y a un lien entre le déterminant d'une matrice et sa diagonalisation. Je crois comprendre que si le déterminant d'une matrice est non nul (donc pas de combinaison linéaire entre les vecteurs colonne) alors la matrice est diagonalisable. Cependant, j'ai un gros doute sur ce lien qui me semble trop simple, n'ayant pas trouvé de contre-exemple.

Merci par avance de votre réponse.

Posté par
carpediem
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 20:37

salut

guère sérieux ...

en terme d'application linéaire que peut-on dire si le déterminant de sa matrice est nulle ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 20:45

Bonjour
il y a des matrices diagonalisables à déterminant nul (exemple : la matrice nulle, qui jusqu'à preuve du contraire, est diagonale...., mais aussi diag(1;1;0) ou diag(1;2;-1;0) etc)
il y a des matrices à déterminant non nul non diagonalisables (exemple \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix})

bref aucun lien entre le déterminant de la matrice et sa possible diagonalisation

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 21:16

Bonsoir,

J'ai bien fait de vous poser la question. Je suis vraiment en difficulté sur ce sujet, si je pouvais vous demander la confirmation de ce que je fais.

Soit f l'endomorphisme sur \mathbb{R}^3 de matrice

A =\left( \begin{array} {ccc} -9&-6&-2\\10&7&-2\\ -10&-6&3\end{array} \right)  

Cette matrice est-elle diagonalisable ?

Honnêtement, de ce que je vois dans mon cours, il me faut déterminer son polynôme, duquel je calculerai les valeurs propres pour déduire les sous-espaces propres, en espérant que la somme des dimensions fasse 3...

Mais je me dis qu'il y a peut-être plus simple, mais je ne trouve pas dans le cours en le lisant et relisant.

Un petit coup de pouce serait le bienvenu.

Merci

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 21:30

carpediem @ 01-12-2018 à 20:37

salut

guère sérieux ...

en terme d'application linéaire que peut-on dire si le déterminant de sa matrice est nulle ?


Pour vous répondre, si le déterminant est nul :
- il y a combinaison linéaire entre lignes et/ou colonnes ;
- le rang de la matrice est inférieur à la dimension de la matrice.

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 21:57

Bonsoir,

Si les 3 valeurs propres de A sont réelles et distinctes, tu peux conclure.

Posté par
carpediem
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 21:57

certes ... mais bof ... mais encore ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:23

"il me faut déterminer son polynôme" : il faut que tu sois plus précis !
j'imagine que tu parles du polynôme caractéristique ?
ça reste le moyen le plus rapide pour trouver les valeurs propres

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:25

carpediem @ 01-12-2018 à 21:57

certes ... mais bof ... mais encore ?


En relisant mon cours, la matrice n'est pas inversible si son déterminant est nul. Mais je ne vois pas où vous voulez en venir.

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:26

lafol @ 01-12-2018 à 22:23

"il me faut déterminer son polynôme" : il faut que tu sois plus précis !
j'imagine que tu parles du polynôme caractéristique ?
ça reste le moyen le plus rapide pour trouver les valeurs propres


Oui je parlais du polynôme caractéristique dont les racines sont les valeurs propres.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:34

tu sais le calculer ?
as-tu aussi entendu parler de polynôme annulateur ? de polynôme minimal ?

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:38

Oui, le polynôme caractéristique est :
p(\lambda)=-\lambda^3+\lambda^2-\lambda+1=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)

Une seule valeur propre : 1, puisque le polynôme (-\lambda^2-1) n'a pas de racine réelle.

En revanche, je n'ai pas encore vu les polynômes annulateur et minimal. A moins qu'il y ait un cours vidéo dessus, ce que je m'empresse de regarder.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:41

là tu peux conclure direct, si ton calcul de déterminant est ok
tu as un th qui dit que si une matrice a une unique valeur propre elle est déjà diagonale, ou pas diagonalisable
(si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice I, puisqu'on n'a que des 1 à mettre sur la diagonale, or les seules matrices semblables à I sont ... I et rien qu'elle)

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:44

Le sous-espace vectoriel propre à 1 est l'ensemble vect{(1; 1; 8)}, de dimension 1.

Donc cette matrice n'est pas diagonalisable, du fait que la matrice n'ait pas d'autre valeur propre. Pourtant son déterminant est 1.

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:45

lafol @ 01-12-2018 à 22:41

là tu peux conclure direct, si ton calcul de déterminant est ok
tu as un th qui dit que si une matrice a une unique valeur propre elle est déjà diagonale, ou pas diagonalisable
(si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice I, puisqu'on n'a que des 1 à mettre sur la diagonale, or les seules matrices semblables à I sont ... I et rien qu'elle)


Merci pour cette importante précision.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:48

ton calcul de déterminant était faux, en fait. tu as trois valeurs propres distinctes (ou une erreur de recopie dans la matrice proposée)

quand tu as une unique valeur propre il ne sert à rien de chercher l'espace propre associé pour conclure : soit la matrice est déjà diagonale, soit elle n'est pas diagonalisable
quand tu en as n distinctes en dimension n, idem : ils seront alors forcément de dim 1, et la matrice sera forcément diagonalisable

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:49

lafol @ 01-12-2018 à 20:45



bref aucun lien entre le déterminant de la matrice et sa possible diagonalisation

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 22:51

@lyceen

Si tu veux dire que p(\lambda)=-\lambda^3+\lambda^2-\lambda+1=(\lambda-1)(-\lambda^2-1) est le polynôme caractéristique de la matrice A de 21:16, alors, tu as fait une erreur de calcul.

Posté par
carpediem
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:02

lyceen @ 01-12-2018 à 22:25

En relisant mon cours, la matrice n'est pas inversible si son déterminant est nul. Mais je ne vois pas où vous voulez en venir.
ben voila ...

et de l'intérêt de (lire et) connaitre son cours pour arriver tout seul à la même conclusion que lafol

et si tu nous avais donner dès le début l'énoncé exact puis ensuite tes interrogations on n'aurait pas perdu notre temps ...

lyceen @ 01-12-2018 à 21:16

Honnêtement, de ce que je vois dans mon cours, il me faut déterminer son polynôme, duquel je calculerai les valeurs propres pour déduire les sous-espaces propres, en espérant que la somme des dimensions fasse 3...

Mais je me dis qu'il y a peut-être plus simple, mais je ne trouve pas dans le cours en le lisant et relisant.
signe de fumisterie intellectuelle et incompatible avec le véritable apprentissage ...

le véritable mathématicien a appris à ne pas se fatiguer ... justement parce qu'il s'est fatigué à apprendre ...

et c'est par l'effort, l'expérience et l'apprentissage ... qu'il a appris !!!

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:13

larrech @ 01-12-2018 à 22:51

@lyceen

Si tu veux dire que p(\lambda)=-\lambda^3+\lambda^2-\lambda+1=(\lambda-1)(-\lambda^2-1) est le polynôme caractéristique de la matrice A de 21:16, alors, tu as fait une erreur de calcul.


Ah zut !!! J'ai faire une erreur dans la copie de la matrice... le terme en haut à droite est 2 et non -2. Désolé.

La bonne matrice :

\ \left( \begin{array}{ccc}   -9&-6&2 \\ 10&7&-2\\ -10&-6&3\end{array} \right)  

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:15

carpediem @ 01-12-2018 à 23:02

lyceen @ 01-12-2018 à 22:25

En relisant mon cours, la matrice n'est pas inversible si son déterminant est nul. Mais je ne vois pas où vous voulez en venir.
ben voila ...

et de l'intérêt de (lire et) connaitre son cours pour arriver tout seul à la même conclusion que lafol

et si tu nous avais donner dès le début l'énoncé exact puis ensuite tes interrogations on n'aurait pas perdu notre temps ...

lyceen @ 01-12-2018 à 21:16

Honnêtement, de ce que je vois dans mon cours, il me faut déterminer son polynôme, duquel je calculerai les valeurs propres pour déduire les sous-espaces propres, en espérant que la somme des dimensions fasse 3...

Mais je me dis qu'il y a peut-être plus simple, mais je ne trouve pas dans le cours en le lisant et relisant.
signe de fumisterie intellectuelle et incompatible avec le véritable apprentissage ...

le véritable mathématicien a appris à ne pas se fatiguer ... justement parce qu'il s'est fatigué à apprendre ...

et c'est par l'effort, l'expérience et l'apprentissage ... qu'il a appris !!!



Pardon carpediem pour ne pas avoir été clair et vous avoir fait perdre du temps.

Je travaille depuis deux jours sur les matrices, je me sens fatigué, ce qui me rend imprécis et confus...  D'où l'erreur sur un des termes de la matrice.

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:24

Ce n'était donc pas la bonne matrice. A part ça, tout baigne..

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:26

larrech @ 01-12-2018 à 23:24

Ce n'était donc pas la bonne matrice. A part ça, tout baigne..


Comment ça, tout baigne ?

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 01-12-18 à 23:49

J'ai l'impression qu'il y a encore une erreur dans le calcul du polynôme. Mais, bon, je laisse tomber.

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 11:34

Bonjour larrech,

Je confirme qu'il y a bien une erreur dans mes développements. Normalement, cette fois-ci est la bonne :

P(\lambda) = -\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda - 1

Ce qui fait que 1 est racine double, -1 racine simple :

P(\lambda) = - (\lambda-1)^2(\lambda+1)

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 12:49

Donc, pour finir, la matrice est diagonalisable.

Le sous-espace propre à 1, E_1 est :

E_1 =  Ker(B-I) = vect\left( \left( \begin{array}{c} \\ 5 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \right) et dim(E_1) = 1

Le sous-espace propre à -1 est :

E_{-1} =  Ker(B-I) = vect\left( \left( \begin{array}{c} \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)  \right) et dim(E_{-1}) = 2

Ainsi, dim(E_1) + dim(E_{-1}) = 3, donc B est diagonalisable.

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 13:16

Je pense que tu as interverti  E_1 et E_{-1}, mais bon, effectivement la matrice est diagonalisable.

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 14:14

Bonjour larrech, merci.

J'ai fait une petite faute de frappe, :
E_{-1} = Ker(B+I), sommes-nous bien d'accord sur sa dimension, laquelle est 2 ?

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 15:56

Il y a encore des erreurs.

La racine double est 1. Pour que la matrice soit diagonalisable, l'espace propre correspondant, E_1, doit être de dimension   2.

De fait, j'obtiens,   E_1= Vect{\{ (1,0,5) , (0,1,3)\}}

Quant à    E_{-1}, il est de dimension   1, égal à Vect\{{(1,-1,1)\}}

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 16:16

Merci larreth.

Décidément, j'ai bien du mal à m'en sortir.

Ainsi, si tu pouvais confirmer mon calcul que j'ai entièrement repris.

Soit E_1 le sous-espace vectoriel propre à 1 : E_1=Ker(B-I), ce qui signifie que pour tout vecteur X(x;y;z),  (B-I)X = 0_3


 \\ (B-I)X = \left( \begin{array}{ccc} -10&-6&2 \\ 10&6&-2 \\ -10&-6&2  \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10x-6y+2z \\ 10x+6y-2z \\ -10x-6y+2z \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\ 0\end{array} \right)

Le système est donc composé de la même équation : 5x+3y-z=0
Il s'agit de l'équation d'une droite ?... Donc la dimension ne devrait-elle pas être 1 ? Ou alors... ferais-je une erreur dans mon interprétation de ce sous-espace propre ?

Merci de m'aider car là, je commence à désespérer...

Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 16:26

Non, il s'agit de l'équation d'un plan vectoriel, qui est un sous espace  vectoriel de dimension 2 .
Grossièrement, tu vois que tu peux choisir 2 coordonnées arbitrairement , la troisième est alors déterminée.

L'équation 5x+3y-z=0 suffit à caractériser le sous-espace en question.

Mais on peut le définir aussi au moyen de 2 vecteurs indépendants qui vont l'engendrer.
Par exemple (1,0,5) et (0,1,3)

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 16:55

J'ai l'impression de commencer à réaliser que j'ai tout compris de travers...

Passons, si tu le veux bien, au sous-espace vectoriel rattaché à -1, E_{-1} selon le même procédé :

E_{-1} = Ker(B+I) , pour tout vecteur X(x;y;z), (B+I)X=0_3, ce qui donne :


 \\ (B+I)X = \left( \begin{array}{ccc} -8&-6&2 \\ 10&8&-2 \\ -10&-6&4 \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} x&y&z  \end{array} \right)

 \\ = \left( \begin{array}{c} -8x-6y+2z&10x+8y-2z&-10x-6y+4z\end{array} \right)

Cela aboutit au système suivant :


 \\ \left\lbrace\begin{array}{r @{ = } l}-8x-6y+2z & 0\\ 10x+8y-2z & 0 \\-10x-6y+4z & 0\end{array} \right. 
 \\

La résolution donne :


 \\ y=-z
 \\ 4x+3y+z=0 
 \\

Soit :


 \\ y=-z
 \\ 2x=z 
 \\

Donc me donne la famille de vecteurs (\dfrac{z}{2}; -z; z), est-ce cela qui m'indique que la dimension 1, c'est-à-dire une droite vectorielle ?

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 17:07

Attention aux étourderies !


 \\ y=-z
 \\ 4x+3y{\red{-}}z=0 
 \\

ce qui donne x=-y=z, famille de vecteurs  {(z, -z, z)} qui est effectivement une droite vectorielle.

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 21:11

larrech @ 02-12-2018 à 17:07

Attention aux étourderies !


 \\ y=-z
 \\ 4x+3y{\red{-}}z=0 
 \\

ce qui donne x=-y=z, famille de vecteurs  {(z, -z, z)} qui est effectivement une droite vectorielle.


Oups ! Voulant faire vite, j'ai mal tapé le signe, je confirme avoir bien mis le bon signe sur ma copie, mais j'ai tapé la conclusion sur ce site...

Merci pour la correction et surtout merci de m'avoir montré, je pense avoir déjà mieux compris.

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 21:21

De rien, et surtout, ne te décourages pas...

Posté par
larrech
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 21:23

sans s à "décourage"

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 21:25

larrech @ 02-12-2018 à 21:23

sans s à "décourage"


Ne t'inquiète pas : je fais souvent des fautes à vouloir aller trop vite.

Encore merci pour ton aide, et merci également à lafol et carpediem.

Posté par
carpediem
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 21:31

de rien

il faut travailler avec plus de rigueur et d'attention pour éviter ces (trop nombreuses) fautes d'étourderie qui t'embrouillent et te ralentissent dans ton apprentissage

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 22:33

carpediem @ 02-12-2018 à 21:31

de rien

il faut travailler avec plus de rigueur et d'attention pour éviter ces (trop nombreuses) fautes d'étourderie qui t'embrouillent et te ralentissent dans ton apprentissage



Vous prêchez un convaincu. Ce cours semble assez difficile, je ne suis pas d'ailleurs le seul à éprouver des difficultés. Il y a quelque chose en cette première année de second cycle qui perturbe beaucoup les élèves. Je vais en parler sur un autre forum.

Plusieurs camarades ont déjà renoncé à travailler, la fatigue engendre la nervosité, et cela tourne à des disputes parfois entre nous. J'essaie justement de travailler seul, cela demande du temps et de la volonté.

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 02-12-18 à 23:09

Tu n'avais jamais vu ces notions avant ? la diagonalisation est souvent faite à bac+2, pourtant ?

Posté par
lyceen
re : Matrice : déterminant et diagonalisable 03-12-18 à 06:44

lafol @ 02-12-2018 à 23:09

Tu n'avais jamais vu ces notions avant ? la diagonalisation est souvent faite à bac+2, pourtant ?


Bonjour, vous avez raison : nous avions abordé cette partie de cours en fin de 2ème année du 1er cycle.Cependant, en raison des grèves de la SNCF entre avril et juin, nos deux enseignants n'ont pu venir et assurer les cours. Alors cette partie a été abandonnée, notre DS s'est limité à un changement de base. Je sentais bien que cela allait se payer cette année, ça n'a pas raté.



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