Bonsoir,
Je me perds dans mes révisions pour un DS dans quelques jours sur les matrices. Je voudrais savoir s'il y a un lien entre le déterminant d'une matrice et sa diagonalisation. Je crois comprendre que si le déterminant d'une matrice est non nul (donc pas de combinaison linéaire entre les vecteurs colonne) alors la matrice est diagonalisable. Cependant, j'ai un gros doute sur ce lien qui me semble trop simple, n'ayant pas trouvé de contre-exemple.
Merci par avance de votre réponse.
salut
guère sérieux ...
en terme d'application linéaire que peut-on dire si le déterminant de sa matrice est nulle ?
Bonjour
il y a des matrices diagonalisables à déterminant nul (exemple : la matrice nulle, qui jusqu'à preuve du contraire, est diagonale...., mais aussi diag(1;1;0) ou diag(1;2;-1;0) etc)
il y a des matrices à déterminant non nul non diagonalisables (exemple )
bref aucun lien entre le déterminant de la matrice et sa possible diagonalisation
Bonsoir,
J'ai bien fait de vous poser la question. Je suis vraiment en difficulté sur ce sujet, si je pouvais vous demander la confirmation de ce que je fais.
Soit l'endomorphisme sur
de matrice
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
Honnêtement, de ce que je vois dans mon cours, il me faut déterminer son polynôme, duquel je calculerai les valeurs propres pour déduire les sous-espaces propres, en espérant que la somme des dimensions fasse 3...
Mais je me dis qu'il y a peut-être plus simple, mais je ne trouve pas dans le cours en le lisant et relisant.
Un petit coup de pouce serait le bienvenu.
Merci
"il me faut déterminer son polynôme" : il faut que tu sois plus précis !
j'imagine que tu parles du polynôme caractéristique ?
ça reste le moyen le plus rapide pour trouver les valeurs propres
Oui, le polynôme caractéristique est :
Une seule valeur propre : 1, puisque le polynôme n'a pas de racine réelle.
En revanche, je n'ai pas encore vu les polynômes annulateur et minimal. A moins qu'il y ait un cours vidéo dessus, ce que je m'empresse de regarder.
là tu peux conclure direct, si ton calcul de déterminant est ok
tu as un th qui dit que si une matrice a une unique valeur propre elle est déjà diagonale, ou pas diagonalisable
(si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice I, puisqu'on n'a que des 1 à mettre sur la diagonale, or les seules matrices semblables à I sont ... I et rien qu'elle)
Le sous-espace vectoriel propre à 1 est l'ensemble , de dimension 1.
Donc cette matrice n'est pas diagonalisable, du fait que la matrice n'ait pas d'autre valeur propre. Pourtant son déterminant est 1.
ton calcul de déterminant était faux, en fait. tu as trois valeurs propres distinctes (ou une erreur de recopie dans la matrice proposée)
quand tu as une unique valeur propre il ne sert à rien de chercher l'espace propre associé pour conclure : soit la matrice est déjà diagonale, soit elle n'est pas diagonalisable
quand tu en as n distinctes en dimension n, idem : ils seront alors forcément de dim 1, et la matrice sera forcément diagonalisable
@lyceen
Si tu veux dire que est le polynôme caractéristique de la matrice A de 21:16, alors, tu as fait une erreur de calcul.
J'ai l'impression qu'il y a encore une erreur dans le calcul du polynôme. Mais, bon, je laisse tomber.
Bonjour larrech,
Je confirme qu'il y a bien une erreur dans mes développements. Normalement, cette fois-ci est la bonne :
Ce qui fait que 1 est racine double, -1 racine simple :
Donc, pour finir, la matrice est diagonalisable.
Le sous-espace propre à 1, est :
et
Le sous-espace propre à -1 est :
et
Ainsi, , donc
est diagonalisable.
Bonjour larrech, merci.
J'ai fait une petite faute de frappe, :
, sommes-nous bien d'accord sur sa dimension, laquelle est 2 ?
Il y a encore des erreurs.
La racine double est . Pour que la matrice soit diagonalisable, l'espace propre correspondant,
, doit être de dimension
.
De fait, j'obtiens,
Quant à , il est de dimension
, égal à
Merci larreth.
Décidément, j'ai bien du mal à m'en sortir.
Ainsi, si tu pouvais confirmer mon calcul que j'ai entièrement repris.
Soit le sous-espace vectoriel propre à
:
, ce qui signifie que pour tout vecteur
,
Le système est donc composé de la même équation :
Il s'agit de l'équation d'une droite ?... Donc la dimension ne devrait-elle pas être 1 ? Ou alors... ferais-je une erreur dans mon interprétation de ce sous-espace propre ?
Merci de m'aider car là, je commence à désespérer...
Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?
Non, il s'agit de l'équation d'un plan vectoriel, qui est un sous espace vectoriel de dimension 2 .
Grossièrement, tu vois que tu peux choisir 2 coordonnées arbitrairement , la troisième est alors déterminée.
L'équation 5x+3y-z=0 suffit à caractériser le sous-espace en question.
Mais on peut le définir aussi au moyen de 2 vecteurs indépendants qui vont l'engendrer.
Par exemple (1,0,5) et (0,1,3)
J'ai l'impression de commencer à réaliser que j'ai tout compris de travers...
Passons, si tu le veux bien, au sous-espace vectoriel rattaché à -1, selon le même procédé :
, pour tout vecteur
,
, ce qui donne :
Cela aboutit au système suivant :
La résolution donne :
Soit :
Donc me donne la famille de vecteurs , est-ce cela qui m'indique que la dimension 1, c'est-à-dire une droite vectorielle ?
Attention aux étourderies !
ce qui donne x=-y=z, famille de vecteurs {(z, -z, z)} qui est effectivement une droite vectorielle.
de rien
il faut travailler avec plus de rigueur et d'attention pour éviter ces (trop nombreuses) fautes d'étourderie qui t'embrouillent et te ralentissent dans ton apprentissage
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