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Matrice, determinant et valeur propre

Posté par
Retxed 11-01-18 à 16:36

Bonjour

J'ai un exercice sur les matrice qui me pose problème.

Voici l'énoncé :

Soit A = \begin{pmatrix}0 &1  & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}

1.Déterminer les valeurs propres de A en précisant les multiplicités associées.
2.  Quel est le rang de A + I ?
3. En déduire que A n'est pas diagonalisable.
7. Justifier que A est trigonalisable.

-----------------------------------------------------------------------
1.
  det (A - \lambda I)= \begin{vmatrix}-\lambda & 1 & 0\\ 0 & -\lambda & 1 \\ \\ 1& 1 & -1-\lambda\end{vmatrix} \\ \\ = (- \lambda)\times \begin{vmatrix} \\ -\lambda & 1\\ 1 & -1-\lambda\end{vmatrix}+1\times \begin{vmatrix} \\ 1 & 0\\ -\lambda & 1\end{vmatrix} \\ \\ =(-\lambda)\times ((-\lambda)\times (-1-\lambda)-1)+1 \\ \\ =(-\lambda)(\lambda+\lambda^{2}-1)+1 \\ \\ =-\lambda^{2}-\lambda^{3}+\lambda+1 \\ \\ = (\lambda^{2}-1)(-\lambda-1)

Donc   = 1  avec une multiplicité 2 et = -1 avec une multiplicité 1.

En verifiant avec un site en ligne, je devrais trouver = 1  avec une multiplicité 1 et = -1 avec une multiplicité 2, je ne comprend pas mon erreur

2. On calcule de le det (A+I) on trouve 0, donc on calcul la dimension de ker (A+I), on trouve 1, on en déduis que le rang est de 2.

3. Comme det A+ I = 0, on a rg =2, cad que la dimension de l'espace est supérieur a sa multiplicité, donc pas diagonalisable

4. La je ne sais pas du tout, je dirais que toute matrice carré est trigonalisable mais sans certitude

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 16:45

salut

peut-être réviser ses identités remarquables : (x^2 - 1)(-x - 1) = - (x + 1)^2(x - 1)

Posté par
Retxedre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 16:55

aaah oui, je n'ai pas pensé à utilisé les identité remarquables. Merci, je comprend mieux !

Sinon pour les autres questions, je veux bien ton avis, parce que je ne suis vraiment pas certain.

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:06

Bonjour
non, toutes les matrices carrées ne sont pas trigonalisables !

Posté par
Retxedre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:07

Ah d'accord, mais dans ce cas, comment je justifie que A est trigonalisable ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:08

en utilisant un théorème du cours, non ?

Posté par
carpediemre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:10

peut-être à partir des questions précédentes ...

Posté par
Retxedre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:18

Dans mon cours j'ai la définition d'une matrice trigonalisable, mais je n'ai pas de CNS pour qu'elle le soit

J'ai vu sur internet qu'une matrice etait trigonalisable si son polynome caractéristique etait "scindé" cad de la forme (X-a1)*...(X-an). du coup je peux utiliser ça pour justifier ?

Le fais que la matrice soit non diagonalisable, impact le fais qu'elle soit trigonalisable ou non ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:37

si tu n'as rien dans le cours, il faut utiliser les questions précédentes ....

Posté par
Retxedre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 17:46

Je ne vois pas du tout le lien entre les question précédente et la trigonalisation  justement

Posté par
Retxedre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 18:06

Je veux bien que vous m'expliquiez le lien si c'est possible

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice, determinant et valeur propre 11-01-18 à 22:14

tu peux donner combien de vecteurs propres indépendants, d'après les questions précédentes ? peux-tu compléter en une base ? si on appelle f l'endomorphisme canoniquement associé à A, à quoi ressemblerait la matrice de f dans la base ainsi complétée ?


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