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Matrice diagonale dans une base
Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre portant sur les matrices,
Soit A une matrice non nulle et tr(A) non nulle
On définit f l'endomorphisme de Mn(K) tel que: . Montrer qu'il existe une base de
dans laquelle f est diagonale.
Je précise que je sors d'une année de sup et je n'ai pas les notions de valeurs propres.
Je suis parti sur un raisonnement type analyse/synthèse où je prends une famille si ils conviennent ils sont tous non nuls et
. En utilisant la définition de f je trouve que
. Donc la matrice de f dans F est bien diagonale. En revanche après ça je sens que mon analyse est trop légère parce que je ne parviens pas à montrer que F est une base.
Voilà si vous avez des pistes j'accepte volontiers.
Merci de m'avoir lu et bonne journée !
Bonsoir
Peux-tu trouver matrices simples de trace nulle? Il suffirait que ce soit une famille libre de matrices.
Alors attention, parce que pour écrire la matrice d'une application linéaire de , il te faut non pas une mais deux bases
de E et
de F.
Chaque colonne est un vecteur, qui vaut . Et le vecteur en question à des coordonnées
dans la base
de F.
Quand , tu as un endomorphisme et on peut faire le choix particulier
.
Dire qu'une matrice associée à un endomorphisme est diagonalisable, ça veut dire qu'il existe deux bases et
de E et n scalaires
tels que pour tout j,
.
Evidemment, quand on prend , ça revient exactement à demander que
possède une base
constituée uniquement de vecteurs d'image proportionnelle (
). Dans ce cas là, les
sont appelés des vecteurs propres et les
associés des valeurs propres. La matrice de f dans les bases
et
est évidemment nulle en dehors de la diagonale constituée par les
.
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Ces rappels ayant été faits, le but de ton exercice c'est de trouver N vecteurs linéairement indépendants et N scalaires
tels que
. Les vecteurs en question sont des éléments de
donc en fait, des *matrices* propres. Et la dimension de
étant
, il faudra que
pour espérer former une base, et non n comme tu l'as déclaré
Si tu prends , tu as
. Les matrices élémentaires semblent être un bon choix donc.
Seulement, quand , tu auras
. Aïe, le terme en A fait tout capoter. Ce que tu voudrais pour les
serait des matrices de trace nulle. Mais attention, car elles doivent être linéairement indépendantes les unes des autres et indépendantes des
aussi.
Que penses-tu de , pour
?
Et maintenant, il s'agit de trouver une dernière matrice propre pour compléter notre base, que je te laisse chercher car j'en ai déjà bien trop fait 
Bonsoir, merci pour vous réponses,
Non AitOuglif il n'y a pas de mention de dans le sujet, mais où est-ce que cela servirait ?
En effet ma famille devrait contenir vecteurs et pas n pour pouvoir prétendre à être une base, donc si on prend la famille
qui a
vecteurs, et pour la dernière on pourrait prendre une matrice colinéaire à A, de cette façon la famille F est libre car A a une trace non nulle donc elle ne peut pas être combinaison linéaire des autres vecteurs de F qui ont tous une trace non nulle.
Oui c'est bien l'idée. Ker(Tr) est en somme directe avec K.A.
Quelle sera la valeur propre associée à un tel vecteur ?
. Sinon, oublie ma remarque sur 
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